Mostre que a equação possui uma raiz real entre 1 e 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha?

Bom... Para mostrar que a equação x 3 - 4 x 2 + x + 3 = 0 possui uma raiz real entre 1 e 2 , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

O TVI afirma que se uma função f ( x ) é contínua em um intervalo fechado [ a , b ] e assume valores com sinais opostos em a e b (ou seja, f ( a )   *   f ( b )   <   0 ), então existe pelo menos um valor c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde a função se anula, ou seja, f ( c )   =   0 .

Nesse sentido, temos que verificar se a nossa função assume valores com sinais opostos nos pontos 1 e 2 .

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... vamos fazer f 1 e f 2 para verificar se a função assume valores com sinais opostos nos pontos 1 e 2 :

f 1 = 1 3 - 4 * 1 2 + 1 + 3 = 1

f 3 = 3 3 - 4 * 3 2 + 3 + 3 = - 3

Agora, vamos verificar se f ( a )   *   f ( b )   <   0 :

f 1 * f 2 = 1 * - 3 = - 3

Como f ( a )   *   f ( b ) é negativo, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos um valor c no intervalo aberto ( 1 ,   2 ) onde a função se anula, ou seja, f ( c )   =   0 .

Isso significa que a equação x 3 - 4 x 2 + x + 3 = 0 possui uma raiz real entre 1 e 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |