Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2013.2 – 4

Seja f uma função contínua em ℝ tal que f 0 = 1 e f 2 = - 1 , e seja g x = x 2 + 3 x + 2 . A função composta h x = f g x possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

Passo 1

Bom, a questão pede os intervalos contendo as raízes, isso nos dá um indício de que vamos usar o teorema do valor intermediário (TVI).

Só relembrando, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto N , desde que exista pontos menores que N e maiores que N e a função seja contínua no intervalo formado por eles.

Como estamos buscando raízes, o ponto N que estamos falando é

h x = 0

Então agora vamos procurar pontos menores e maiores que ele, ok?!

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Passo 2

Então, galerinha, o problema nos forneceu duas informações importantes. A primeira é,

h x = f g x

ou seja, h ( x ) é dependente de f ( x ) .

Tá mas o que a gente faz com isso? Aí que entra segunda informação importante:

f 0 = 1

f 2 = - 1

Ainda não se ligou? Vamos olhar estes pontos no gráfico cartesiano são assim:

Lembra que ele disse que   f é continua? Então, repara que para ligar os pontos amarelos eu preciso passar pelo h x = 0 . Ou seja, a gente pode aplicar o TVI neste caso.

Mas o que falta agora? Lembra que,

h x = f g x

Então vamos ter que achar valores de g ( x ) que sejam igual a 0 e 2 , pois são os pontos em f que nós conhecemos.

Isso significa que a função h x = f g x troca de sinal entre g x = 0 e g x = 2 .

Passo 3

Igualando, podemos descobrir quais valores de x fazem g ser igual a 0 e 2:

g x = 0 ⟹ x 2 + 3 x + 2 = 0

g x = 2 ⟹ x 2 + 3 x + 2 = 2

Resolvendo a equação de segundo grau, as soluções de g x = 0 estão no conjunto abaixo:

x ∈ - 1 , - 2

Ou seja, quando eu tiver x igual a - 1 e - 2 , o nosso h ( x ) será 1 .

No plano cartesiano vamos ter os seguintes pontos de h x

- 1,1         e         - 2,1

Isso porque fizemos

h x = f g x = 1 ⇒ g x = 0   ⇒ h x = 1

Analogamente, as soluções de g x = 2 estão no conjunto abaixo:

x ∈ 0 , - 3

Isso resulta nos seguintes pontos de h x

0 , - 1         e         - 3 , - 1

Isso porque fizemos

h x = f g x = - 1 ⇒ g x = 2 ⇒ h x = - 1  

No gráfico cartesiano de h x , teríamos o seguinte:

Passo 4

Portanto, como podemos ver, a função troca de sinal no intervalo:

I 1 = ( - 3 , - 2 )

E também no intervalo:

I 2 = ( - 1 ,   0 )

E pelo teorema do Valor Intermediário, temos que existe ao menos uma raiz em cada um desses intervalos, conforme queríamos demonstrar.

Resposta

O s   i n t e r v a l o s   s ã o   I 1 = - 3 , - 2   e   I 2 = ( - 1 ,   0 )

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