Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg ⁡ x têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 , π 2 .

Passo 1

Queremos procurar se existem pontos onde as funções se interceptam. Ora, quando funções se interceptam, elas tem o mesmo valor! Procuramos, então, o seguinte:

1 = x 2 tg ⁡ x

Chamando uma função auxiliar f x teríamos:

f x = 1 - x 2 tg ⁡ x

Procuramos as raízes de f x

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI), vamos substituir + π 2 e - π 2 em f :

f - π 2 = 1 - - π 2 2 tg ⁡ - π 2 = 1 - π 2 4 - ∞ = + ∞

f π 2 = 1 - π 2 2 tg ⁡ π 2 = 1 - π 2 4 ∞ = - ∞

Não sei se você vai lembrar, mas a tangente não está definida nem em - π 2 , nem em π 2 . Com isso, temos que escolher outros pontos aí dentro desse intervalo para substituir para analisar.

Passo 3

Por praticidade, vou substituir pelos valores dos quais conheço as tangentes. Mas eu poderia escolher outros, desde que estivessem contidos no intervalo entre + π 2 e - π 2 .

Vamos pegar - π 3 , 0 e + π 3 :

f - π 3 = 1 - - π 3 2 tg ⁡ - π 3 = 1 - π 2 9 - 3 = 1 + π 2 3 3

f 0 = 1 - 0 2 tg ⁡ 0 = 1 - 0 0 = 1

f π 3 = 1 - π 3 2 tg ⁡ π 3 = 1 - π 2 9 3 = 1 - π 2 3 3

Passo 4

De maneira geral, o TVI serve para provar que a função passa por qualquer ponto N , desde que exista pontos menores que N e maiores que N e a função seja contínua no intervalo formado por eles.

Como escrevemos nossa f ( x ) assim,

f x = 1 - x 2 tg ⁡ x

Vamos tomar 0 como nosso N . E repara que no nosso Passo 3, achamos valores maiores e menores que N para um função contínua.

f - π 3 > 0

f 0 = 0

f + π 3 < 0

E como esses pontos estão contidos no intervalo - π 2 , π 2 , concluímos que há pelo menos uma raiz da função f x no intervalo - π 2 , π 2 .

Portanto, os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg ⁡ x têm interseção em pelo menos um ponto dentro do intervalo.

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