Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 27.

Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg x têm interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 , π 2 .

Passo 1

Queremos procurar se existem pontos onde as funções se interceptam. Ora, quando funções se interceptam, elas tem o mesmo valor! Procuramos, então, o seguinte:

1 = x 2 tg x

Chamando uma função auxiliar f x teríamos:

f x = 1 - x 2 tg x

Procuramos as raízes de f x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo TVI, vamos substituir ± π 2 em f :

f - π 2 = 1 - - π 2 2 tg - π 2 = 1 - π 2 4 - = +

f π 2 = 1 - π 2 2 tg π 2 = 1 - π 2 4 = -

Não sei se você vai lembrar, mas a tangente de não está definida nem em - π 2 nem em π 2 . Com isso, temos que escolher outros pontos aí dentro desse intervalo para substituir.

Passo 3

Por praticidade, vou substituir pelos valores dos quais conheço as tangentes. Escolhi - π 3 , 0 e π 3 :

f - π 3 = 1 - - π 3 2 tg - π 3 = 1 - π 2 9 - 3 = 1 + π 2 3 3

f 0 = 1 - 0 2 tg 0 = 1 - 0 0 = 1

f π 3 = 1 - π 3 2 tg π 3 = 1 - π 2 9 3 = 1 - π 2 3 3

Bom, se π > 3 , então π 2 > 9 . Com isso, teremos que π 2 3 3 será maior que 9 3 3 = 3 , que é maior que 1 . Sendo assim, f π 3 resulta num valor menor que 0 .

Passo 4

Como f 0 > 0 e f π 3 < 0 e a nossa função f x é contínua dentro do intervalo 0 , π 3 , pelo Teorema do Valor Intermediário nós chegamos à conclusão de que existe pelo menos uma raiz da função dentro desse intervalo! E como o intervalo 0 , π 3 está contido no intervalo - π 2 , π 2 , concluímos que há pelo menos uma raiz da função f x no intervalo - π 2 , π 2 e, portanto, os gráficos de y = 1 e y = x 2 tg x têm interseção em pelo menos um ponto dentro do intervalo.

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