7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(d) b b - a a > a a b - a , para todos a , b ∈ R , com 1 ≤ a < b .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que provar que a inequação b b - a a > a a b - a é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por b b - a a > a a b - a , então se passarmos o termo b - a dividindo, temos

b b - a a > a a b - a

b b - a a b - a > a a

Assim, podemos descobrir a função f x substituindo b = x e a = 0 no numerador

f x = x x

Aplicando a regra do expoente...

f x = e x ln ⁡ x

E pela regra da cadeia, a derivada de f x será

f ' x = d x ln ⁡ x d x · d e u d u

Porém, o termo x ln ⁡ x consiste no produto de duas funções de x , então para a sua derivada, aplicamos a regra do produto

f ' x = d x d x · ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x · d e u d u

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos

d x d x = 1

d ln ⁡ x d x = 1 x

d e u d u = e u

Substituindo em f ' x

f ' x = 1 · ln ⁡ x + x · 1 x · e u

Voltando u para x ln ⁡ x ...

f ' x = 1 · ln ⁡ x + x x · e x ln ⁡ x

f ' x = ln ⁡ x + 1 x x

Substituindo x por c e aplicando no TVM

f ' c = ln ⁡ c + 1 c c

f ' c = f b - f a b - a = b b - a a b - a

ln ⁡ c + 1 c c = b b - a a b - a

Portanto...

ln ⁡ c + 1 c c > a a

Assim, se a ≥ 1 e b > a , pelo TVM, c tem que ser > 1 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

ln ⁡ c + 1 c c > a a ,     c > 1

Exercícios de Livros Relacionados

Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |