Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

Ver Teoria

Enunciado

Sobre a equação cos ⁡ x = x , é correto afirmar:

  1. Admite solução no intervalo 0,1 .
  2. Não admite solução real.
  3. Admite solução no intervalo [ 1 , ∞ ) .
  4. Admite solução no intervalo - ∞ , - 1 .
  5. Admite solução no intervalo - 1,0 .

Passo 1

Para continuar, precisamos identificar algumas coisas:

cos ⁡ x > 0 , - π 2 < x < π 2

cos ⁡ x < 0 - 3 π 2 < x < - π 2

Além disso: 1 < π 2

Vamos então analisar a alternativa (e). No intervalo - 1,0 , cos ⁡ x é sempre positivo ao passo que x é sempre negativo ou zero, logo não há solução e essa alternativa está errada.

Passo 2

Vamos agora para a (d). Apesar do cos ⁡ x ter valores negativos no intervalo - ∞ , - 1 , como cos ⁡ x > - 1 , não tem como o cosseno se igualar a x nesse intervalo e alternativa está errada também.

Passo 3

Para a alternativa (c), o mesmo raciocínio é válido, uma vez que cos ⁡ x < 1 .

Passo 4

Pulamos a alternativa (b), já que ela trata do descarte de todas as possibilidades, e chegamos na letra (a).

Nesse intervalo, o cosseno é positivo e 0 < x < 1 . Logo temos uma grande possibilidade de solução aqui.

Para o cosseno positivo, temos que 0 < cos ⁡ x < cos ⁡ 1 < 1 e, da mesma forma, 0 < x < 1 , logo em determinado momento as duas funções tem que se cruzar e a alternativa (a) é verdadeira.

Resposta

Alternativa (a).

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que uma função f seja contínua em 0,1 , exceto em 0,25 , e que f 0 = 1 e f 1 = 3 . Seja N = 2 . Esboce dois gráficos possíveis de f , um indicando que f pode não satisfazer...
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,   ( 0 ,   1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t g   x = 1 - x...