Usando o Teorema do Valor Intermediário, mostre que a equação

x 4 - 4 x 3 + 10 = 0

Possui uma raiz no intervalo ( 3,4 )

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu essa equação aqui

x 4 - 4 x 3 + 10 = 0

E pediu para usarmos o teorema do valor intermediário e mostrar que em um intervalo, essa equação possui uma raiz. Mas você lembra o que fala esse teorema?

O Teorema do Valor Intermediário nos diz o seguinte: supondo uma função contínua em um intervalo qualquer ( a , b )

f = f ( x )

E o limite dessa função nos extremos mudar de sinal, ou seja, passar de um valor positivo no começo do intervalo

f ( x )   = f a > 0

E no fim do intervalo a função assumir um valor negativo

f ( x )   = f b < 0

ou ao contrário, se passar de um valor negativo pra um positivo…

Isso quer dizer que nesse intervalo, em algum lugar, essa função possui uma raiz!!!

Lembra que uma raiz é um valor de x que deixa a função igual a zero! Então se ela antes estava assumindo algum valor positivo, e depois assume um valor negativo, ela obrigatoriamente passou pelo zero, pois consideramos que a função é contínua!

E o comportamento inverso funciona também tá? De negativo para positivo, o valor da função precisa passar pelo zero também!

Então a ideia aqui é calcular o limite nos extremos do intervalo que o problema nos deu e verificar que a função troca de sinal! Se ela troca de sinal, esse teorema nos garante que temos uma raiz dentro do intervalo!

Mas fica tranquilo, vou fazer com você!

Passo 2

Vamos começar lembrando nossa função

f x = x 4 - 4 x 3 + 10

Temos que encontrar uma raiz no intervalo ( 3,4 ) , então precisamos avaliar o limite dessa função nos extremos e verificar se o valor do limite troca de sinal!

Começando por x = 3

x 4 - 4 x 3 + 10   = 3 4 - 4.3 3 + 10 = 81 - 108 + 10

= - 10 < 0

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o limite no outro extremo do intervalo: x = 4

x 4 - 4 x 3 + 10   = 4 4 - 4.4 3 + 10 = 10 > 0

Opa opa opa! O limite da função passou de um valor negativo ( e m   x = 3 ) para um valor positivo ( e m   x = 4 ) , isso significa que nesse intervalo temos uma raiz

E isso é garantido pelo teorema apenas se a função é contínua! Nossa função

x 4 - 4 x 3 + 10

É um polinômio e sabemos que ele é contínuo em qualquer intervalo!

Beleza? Mostramos o que foi pedido! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Se f (x) = x^2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f (c) = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |