Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

Elaboração própria

Faça o que se pede:

a ) Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ]   e a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.

b )   Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos x   =   a   e   x   =   b a função tem sinais contrários, f não é contínua no intervalo [ a ,   b ]   e a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.

Passo 1

a Em primeiro lugar, é bom dizer que essa questão tem uma série de resultados possíveis, aqui vamos apresentar apenas um deles.

Em primeiro lugar, lembramos a tese do TVI: seja N um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ) , então existe c tal que f c = N . Em outras palavras, o teorema diz que para todos os valores da função entre f ( a ) e f ( b ) , o c correspondente vai estar entre a e b , ou: c a , b .

Com isso, temos que entender que procuramos uma função que não seja contínua porém possui todos os valores de f entre f a e f b , entre os dois pontos a e b . Vou apresentar uma opção:

f x = x 2 - 1 ,     x 1   ;   x 2 3 ,     x = 1 0 ,                             x = 2

Repara, a função tem duas descontinuidades uma em x = 1 e outra em x = 2 . Tendo em vista isso, temos que ver então se a função percorre todos os valores num intervalo 0,3 , por exemplo, com a = 0 e b = 3 . Repara, os limites laterais não batem com as funções em 1 e 2 :

lim x 1 f x = 1 2 - 1 = 0 f 1 = 3

lim x 2 f x = 2 2 - 1 = 3 f 2 = 0

Bom, tendo duas descontinuidades, não teríamos qualquer N entre f a e f b aparecendo. O detalhe é que o limite para x 1 aparece em f 2 e o de x 2 em f 1 . Com isso, cobrimos todos os possíveis valores entre f 0 = 0 2 - 1 = - 1 e f 3 = 3 2 - 1 = 8 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

b Ora, nesse segundo caso basta a gente retirar um dos valores entre - 1 e 8 que a função assume, ou seja:

f x = x 2 - 1 ,     x 1 3 ,     x = 1

Nesse caso, para o mesmo intervalo 0,3 , teríamos que o valor f c = 0 aparecendo, uma vez que f 1 = 3 e não f 1 = lim x 1 f x = 1 2 - 1 = 0 .

Assim, vemos que a função não comprovará a tese do TVI, de cobrir todos os N ’s possíveis entre f a = f 0 e f b = f 3

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