Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

UERJ - Cálculo 1 - Lista Limites – 1

Mostre que a equação x 3 - 15 x + 1 = 0 possui três soluções no intervalo [ - 4 ; 4 ]

Passo 1

Essa é a cara de uma questão de Teorema do valor intermediário. Se descobrirmos que a função muda de sinal pelo menos 3 vezes nesse intervalo, garantiremos que ela terá, no mínimo, 3 raízes. Vou substituir o valor das pontas, em primeiro lugar, o - 4 e o 4 . Para fazer isso, eu vou analisar a função f x = x 3 - 15 x + 1 , buscando suas raízes nas mudanças de sinal, o que me dará as soluções da equação inicial:

f - 4 = ( - 4 ) 3 - 15 - 4 + 1 = - 3

f 4 = ( 4 ) 3 - 15 ( 4 ) + 1 = 5

Já garantimos pelo menos uma mudança, ou seja, uma raiz. Isso bastaria se ele pedisse apenas uma solução no intervalo, como na maioria das questões. Mas o cara foi além, pediu 3 . Agora, temos que pensar em outros pontos para chutar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vou fazer assim, tentar todos os inteiros de - 4 até 4 . Não vai dar trabalho, relaxa:

f - 4 = - 3

f - 3 = 19

f - 2 = 23

f - 1 = 15

f 0 = 1

f 1 = - 13

f 2 = - 21

f 3 = - 17

f 4 = 5

Então olha aqui, mudou o sinal de - 4 para - 3 , de 0 para 1 , e de 3 para 4 . Não queríamos 3 mudanças de sinal no intervalo - 4 ; 4 ? Pronto, pelo Teorema do Valor Intermediário garantimos que existem pelo menos 3 soluções para a equação do problema nesse intervalo.

No caso, trabalhamos com um polinômio do terceiro grau, que tem como máximo número de raízes 3 . Prova-se, enfim, que a equação possui exatamente três soluções no intervalo.

Resposta

A   e q u a ç ã o     p o s s u i   t r ê s   s o l u ç õ e s   n o   i n t e r v a l o  

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