Mostre que os gráficos de y = 1 e y = x 2 tan ⁡ x tem interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 ,   π 2 .

Passo 1

Queremos um ponto em comum entre as duas funções, isto é

x 2 tan ⁡ x = 1

A partir disso podemos fazer

x 2 tan ⁡ x - 1 = 0

E considerar

f x = x 2 tan ⁡ x - 1

Então, nosso objetivo é provar que existe f x = 0 no intervalo - π 2 ,   π 2 .

Passo 2

O jeito mais fácil de fazer isso é usar o Teorema do Valor Intermediário, testando valores entre - π 2 e π 2 até encontrar um intervalo no qual a função mude de sinal.

f 0 = 0 2 tan ⁡ 0 - 1 = - 1

f π 4 = π 4 2 tan ⁡ π 4 - 1 = π 2 16 . 1 - 1 = n ú m e r o   n e g a t i v o

f π 3 = π 3 2 tan ⁡ π 3 - 1 = π 2 9 . 3 - 1 = n ú m e r o   p o s i t i v o

Conseguimos, o intervalo 0 ,     π 3 possui uma raiz de f e está contido em - π 2 ,   π 2 . Isso prova que y = 1 e y = x 2 tan ⁡ x tem interseção em pelo menos um ponto do intervalo - π 2 ,   π 2 .

Resposta

0 , π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |