Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

UFRJ - Cálculo 1 - P1 2013.2 – 4

Seja f uma função contínua em ℝ tal que f 0 = 1 e f 2 = - 1 , e seja g x = x 2 + 3 x + 2 . A função composta h x = f g x possui duas raízes negativas distintas. Determine intervalos abertos disjuntos contendo cada uma dessas raízes.

Passo 1

Bom, a questão pede os intervalos contendo as raízes, isso nos dá um indício de que vamos usar o teorema do valor intermediário. Vamos ter:

h x = 0

Só nos resta partir das únicas informações que temos disponíveis:

f 0 = 1

f 2 = - 1

Ou seja, estes pontos no gráfico cartesiano são assim:

O teorema do valor intermediário diz que se uma função é contínua, como essa nossa f é, ela vai ter um valor para a função entre f a e f b em algum lugar entre a e b .

Isto significa que a função f ( x ) troca de sinal entre x = 0 e x = 2 já que f 0 é positivo e f 2 é negativo, assim precisa ter o 0 entre eles dois como diz o teorema do valor intermediário.

Isso significa que a função h x = f g x troca de sinal entre g x = 0 e g x = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Igualando, podemos descobrir quais valores de x fazem g ser igual a 0 e 2:

g x = 0 x 2 + 3 x + 2 = 0

g x = 2 x 2 + 3 x + 2 = 2

Resolvendo a equação de segundo grau, as soluções de g x = 0 estão no conjunto abaixo:

x - 1 , - 2

Isso resulta nos seguintes pontos de h x

- 1,1         e         - 2,1

Isso porque fizemos

h x = f g x = 1 g x = 0

Então o valor de h x nesses pontos é 1

Analogamente, as soluções de g x = 2 estão no conjunto abaixo:

x 0 , - 3

Isso resulta nos seguintes pontos de h x

0 , - 1         e         - 3 , - 1

Isso porque fizemos

h x = f g x = - 1 g x = 2

Então o valor de h x nesses pontos é - 1

No gráfico cartesiano de h x , teríamos o seguinte:

Passo 3

Portanto, como podemos ver, a função troca de sinal no intervalo:

I 1 = ( - 3 , - 2 )

E também no intervalo:

I 2 = ( - 1 ,   0 )

E pelo teorema do Valor Intermediário, temos que existe ao menos uma raiz em cada um desses intervalos, conforme queríamos demonstrar.

Resposta

O s   i n t e r v a l o s   s ã o   I 1 = - 3 , - 2   e   I 2 = ( - 1 ,   0 )

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