Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação

e x = 2 - x

tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Pra usar o TVI, primeiro temos que definir uma função da qual a gente quer a raiz. Então vamos fazer:

e x - 2 + x = 0

Daí definimos:

f x = e x - 2 + x

Passo 2

f é a soma da função exponencial e do polinômio - 2 + x . Como ambos são funções contínuas em todo o R , temos que f é contínua em todo o R .

Então já podemos aplicar o TVI!

Passo 3

Temos que

f 0 = e 0 - 2 + 0 = 1 - 2 = - 1 < 0

f 2 = e 2 - 2 + 2 = e 2 > 0

⇒ f 0 < 0 < f 2

Logo, pelo TVI, garantimos que existe um número real c tal que f c = 0 :

e c - 2 + c = 0

Portanto, c é uma raiz real da equação

e x = 2 - x

Resposta

Pelo TVI, a função f x = e x - 2 + x tem pelo menos uma raiz real.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |