Verifique que a equação e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2 possui pelo menos alguma solução para um x positivo.

Passo 1

Aqui não adianta tentar isolar o x que não vai dar muito certo. Além disso, a questão não pediu para encontra um valor de x que resolva isso, só pediu pra mostrar que existe um x que resolve a criança.

Para mostrar isso, podemos usar o TVI. Quando queremos provar usa solução assim começamos jogando tudo para o mesmo lado.

e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2 ∴ e x 2 - x - x 3 + 4 x 2 - x - 2 = 0

Agora chamados tudo de f x

f x = 0

Ou seja, a solução para nossos problemas é f x = 0 . Se mostrarmos que essa função vale zero para algum x , estamos bem.

Passo 2

Veja que f é composta por polinômios e exponencial, logo, será sempre contínua, que é um dos requisitos do TVI. Beleza, precisamos achar agora um ponto onde a função é negativa e outra onde ela é positiva, pois se ela troca de sinal e é continua, ela precisará ter passado por zero em algum momento e é isso que queremos;

Podemos começar com x = 0 , por exemplo:

f 0 = e 0 - 0 + 0 - 0 - 2 = 1 - 2 = - 1 < 0

Achamos um negativo. Para o positivo, podemos escolher x = 1 :

f 1 = e 1 - 1 - 1 + 4 - 1 - 2 = 1 > 0

Opa! Se a função troca de sinal e é contínua, pelo TVI, temos que existe x pertencente ao conjunto ( 0,1 ) – ou seja, u m   v a l o r   d e   x   p o s i t i v o – que satisfaz f x = 0 e, portanto: e x 2 - x = x 3 - 4 x 2 + x + 2

Possui solução!

Resposta

f x = e x 2 - x - x 3 + 4 x 2 - x - 2 = 0

f 0 = - 1 < 0

f 1 = 1 > 0

Logo, pelo TVI existe x   p o s i t i v o - x ∈ 0,1 - que é solução da equação.

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = l n x = e - x , ( 1 , 2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |