17 – Derive.

e) y = s e n 3 x a r c t g 4 x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos apenas que calcular a derivada de uma função dada por y = s e n 3 x a r c t g 4 x .

Mas essa função é um pouco estranha, não é? Tem um s e n no numerador, um a r c t g no denominador... parece complicado.

Mas será que não existe nenhuma técnica que podemos aplicar nessa resolução? 🤔🤔

Quando temos que derivar uma fração de funções, quase sempre podemos usar o método do quociente.

Esse método é o seguinte... Dada uma função

f x = g x h x

E temos que calcular a derivada de f x , então aplicamos a fórmula.

f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Vamos aplicar esse método no nosso problema? 😁

Bora lá!

Passo 2

No caso, nosso g x = s e n 3 x e nosso h x = a r c t g 4 x .

Antes de substituir na fórmula, temos que obter os valores de g ' x e h ' x derivando essas funções.

g ' x = d s e n 3 x d x

Mas perceba que g x é uma função composta, já que dentro do s e n , há um 3 x . Nesses casos, a derivada de uma função composta é obtida pela regra da cadeia, ou seja, a derivada de fora multiplicada pela derivada de dentro.

Por exemplo:

p x = q r x → p ' x = r ' x · q ' r x

Então substituindo 3 x por u na derivada de fora, temos

g ' x = d 3 x d x · d s e n u d u

Pelo método da derivação polinomial, obtemos a derivada de 3 x , ou seja

d 3 x d x = 3 x 1 - 1 = 3

Já a derivada de s e n u é obtida, pelo teorema fundamental do cálculo como cos ⁡ u

d s e n u d u = cos ⁡ u

Substituindo os resultados em g ' x e voltando u para 3 x , temos

g ' x = 3 · cos ⁡ u

g ' x = 3 cos ⁡ 3 x

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de h x , ou seja

h ' x = d a r c t g 4 x d x

Novamente temos uma função composta com 2 x contida dentro do a r c t g .

Então pela regra da cadeia, temos que

h ' x = d 4 x d x · d a r c t g v d v

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de 2 x é dada por

d 4 x d x = 4 x 1 - 1 = 4

Já a derivada de a r c t g v é dada, pelo teorema fundamental do cálculo, como

d a r c t g v d v = 1 v 2 + 1

Fazendo as substituições dos resultados em h ' x e substituindo u por 2 x de volta...

h ' x = 4 · 1 4 x 2 + 1

Como a b 2 = a 2 b 2 , então...

h ' x = 4 16 x 2 + 1

Com g ' x e h ' x obtidos, vamos substituir em f ' x

f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x · a r c t g 4 x - s e n 3 x · 4 16 x 2 + 1 a r c t g 4 x 2

Organizando um pouquinho...

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x a r c t g 4 x - 4 s e n 3 x 16 x 2 + 1 a r c t g 4 x 2

E essa é a derivada que estávamos procurando!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 3 cos ⁡ 3 x a r c t g 4 x - 4 s e n 3 x 16 x 2 + 1 a r c t g 4 x 2

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