A posição de uma partícula sobre uma corda vibrante é dada pela equação s t = 10 + π 4 s e n ( 10 π t ) , em que s ( t ) é medido em centímetros e t   em segundos. Determine a função velocidade da partíula.

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu essa função aqui

s t = 10 + 1 4 s e n ( 10 π t )

Essa função representa a posição da partícula em função do tempo.

E pediu para determinarmos a função velocidade dessa partícula!

Oras bolas, o modo como a posição varia em relação ao tempo é a velocidade, certo? Então precisamos descobrir a variação da posição em função do tempo...

E o que é mesmo a variação? É a derivada!

Então o problema pede na verdade é a derivada de s em relação ao tempo!

Nosso s ( t ) é:

s t = 10 + 1 4 s e n ( 10 π t )

E queremos s ' ( t ) !

Passo 2

Até aqui ok! Mas como que a gente deriva mesmo 1 4 s e n ( 10 π t ) ? (sabemos que derivada de constante é zero, então já descartei aquele 10 somando na frente do seno!)

Mas calma aí! Sabemos algumas derivadas! Por exemplo, o seno:

f t = s e n   t

A derivada do seno é

f ' t = cos ⁡ t

Mas, e a derivada de

y = 1 4 s e n 10 π t ?

Aí que tá! O argumento do seno na derivada que conhecemos é ( t ) apenas, e não 10 π t   ou qualquer outra função polinomial, ou até outra função dentro!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta f ( g ( t ) ) , a derivada dessa função é:

f g t ' = f ' g t . g ' ( t )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro f ' g t , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro g ' ( t )

É isso, é ir derivando de fora para dentro, mantendo o argumento das de dentro, depois multiplicando pela derivada da função de dentro.

Passo 3

A função que precisa ser derivada é

s ( t ) = 1 4 s e n 10 π t

A que está mais por fora é a s e n X , e a de dentro é a X = 10 π t , então vamos aplicar a regra da cadeia: derivando o seno, mantendo o argumento X (eu troquei a expressão de dentro por X para facilitar nossa vida e visualizar que precisamos derivar apenas a função de fora, sem mexer no argumento dela, mas no final é só substituir pela expressão original) depois multiplicamos pela derivada de X :

s ' t = 1 4 c o s   X   .   X ' = 1 4 c o s   10 π t   . 10 π

Assim a velocidade dessa partícula é:

v t = s ' t = 5 π 2 cos ⁡ ( 10 π t )

E é essa nossa resposta!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

v t = s ' t = 5 π 2 cos ⁡ ( 10 π t )

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