20. Considere g diferenciável e f x = x · g x 2 .

b) Calcule g 4 , sabendo que g 4 + g ' 4 = 1 e f ' 2 = - 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função f x dada por f x = x · g x 2 a partir daí queremos determinar g 4 sabendo que g 4 + g ' 4 = 1 e f ' 2 = - 1 .

Parece complicado, não é? 🤔

O que temos até agora é que anteriormente calculamos a derivada de f x e obtemos

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2

Podemos usar essa equação para nos auxiliar a obter o valor de g 4 .

Pra isso podemos usar as informações dadas no enunciado e manipular a derivada de f .

Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos fazer x = 2 para obter g 4

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2 → x = 2

f ' 2 = g 4 + 2 2 2 g ' 4

Agora no enunciado foi dado que g 4 + g ' 4 = 1 , então se isolarmos g ' 4 em um lado da igualdade para substituir em f ' 2 .

g 4 + g ' 4 = 1 → g ' 4 = 1 - g 4

f ' 2 = g 4 + 2 2 2 1 - g 4

Simplificando...

f ' 2 = g 4 + 8 1 - g 4

f ' 2 = g 4 + 8 - 8 g 4

f ' 2 = 8 - 7 g 4

Vamos isolar g 4 em um lado da igualdade

7 g 4 = 8 - f ' 2

g 4 = 8 - f ' 2 7

Por fim, como foi dito que f ' 2 = - 1 , então

g 4 = 8 - - 1 7

g 4 = 9 7

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g 4 = 9 7

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