Calcule as derivadas:

  1. f x = x x 2 + e x
  2. g x = log 2 ⁡ x 2 + 3 x + 1

Passo 1

Opa! Tudo bom? Nossa questão é uma aplicação da Regra da Cadeia, que diz o seguinte:

f h x ' = f ' h x ⋅ h ' x

Mas calma! Essa expressão aqui em cima parece super complicada, mas a gente vai entender tintim por tintim como utilizá-la no nosso caso. O que acontece aqui é que a nossa função g é a composta de duas outras funções, como mostrado na figura abaixo:

Primeiro nosso x passa pela função h , que é um polinômio. Em seguida, aplicamos nesse resultado o l o g 2 , que é a função f ! O que a Regra da Cadeia nos ensina é como calcular a derivada da função g , que é a composta dessas duas.

Bora lá, nosso primeiro passo vai ser então calcular as derivadas de f e h , que são funções cujas derivadas têm fórmulas fechadas que a gente aprende nos nossos cursos de Cálculo:

f ' x = log 2 ⁡ x ' = 1 ln ⁡ 2 x

e

h ' x = x 2 + 3 x + 1 ' = 2 x + 3

Passo 2

Beleza! Já calculamos f ' x e h ' x , mas se repararmos bem, na Regra da Cadeia não aparece f ' x , mas sim f ' h x . Nosso próximo passo é então substituir h x dentro da f ' x :

f ' h x = 1 ln ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1

Passo 3

Show de bola! Agora já temos tudo de que precisamos para aplicar a Regra da Cadeia:

g ' x = f h x ' = f ' h x ⋅ h ' x = 1 ln ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1 ⋅ 2 x + 3   = 2 x + 3 ln ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1

E tá pronto! Vamos pra próxima questão?

Resposta

g ' x = 2 x + 3 ln ⁡ 2 x 2 + 3 x + 1

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