A composição de funções tem uma interpretação mais natural em contextos aplicados. Por exemplo, imagine um objeto de massa 4   k g movendo-se sobre uma linha reta com velocidade em função do tempo dada por v t = t 2 - 1 . Sabemos que a energia cinética deste objeto, em termos da velocidade, é dada por K v = 1 2 m v 2 . Uma pergunta natural aqui seria determinar a energia cinética em função do tempo. Isso é fácil de fazer, basta substituir o valor de v , isto é , K t = 2 t 2 - 1 2 . Apesar de não parecer, fizemos uma composição de funções aqui. Traduzindo para o contexto matemático, pensemos que as duas funções envolvidas (escritas na variável x) são v x = x 2 - 1 e K x = 2 x 2 .

A composição de K com   v tem como resultado ( K ∘ v ) ( x )   =   K ( v ( x ) )   =   2 x 2 - 1 2 que é o mesmo resultado obtido acima, apenas com o nome da variável diferente. Essa interpretação é útil para analisarmos a regra da cadeia sob um outro ponto de vista. Nesse exemplo, d K / d v   =   4 v e d v / d t   =   2 t .

Curiosamente, a derivada da composição K ∘ v pode ser vista como

d K d t = d K d v d v d t = 4 v .   2 t = 8 v t

Você pode dizer prontamente que isso não dá a mesma coisa que usar a regra da cadeia. Lembremos que v , na verdade, tem uma escrita em termos de t . Substituindo, obtemos d K / d t   =   8 t v   =   8 t ( t 2 - 1 ) ,   que é a resposta dada pela regra da cadeia. Em resumo, a regra da cadeia escrita da forma d u d t = d u d x d x d t (última linha da tabela no início da lista) está correta, entendendo que o termo d u d x será escrito em termos de t após substituir x .

Em cada item, determine o que se pede.

(b) Dados F = G m 1 m 2 r 2 , onde G ,   m 1 e m 2 são constantes em t e r t = 3 t 2 + 1 , determine d F / d t .

Sugestão: Faça a questão acima por três métodos diferentes: (1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão; (2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e (3) usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece ser complicada, mas vamos resolver juntos!

O problema nos deu uma função F

F = G m 1 m 2 r 2

Onde G ,   m 1 ,   m 2 são constantes no tempo. Já a função α depende do tempo da seguinte forma:

r ( t ) = 3 t 2 + 1

E pediu para calcularmos a derivada de F em relação a r por três maneiras.

d F d t =   ?

Obs.: Em todas essas maneiras, o resultado precisa ser o mesmo!

Essas maneiras são:

(1) escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão;

(2) Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar e

(3) usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

Calma! Vou fazer cada uma dessas maneiras com você! Vamos lá?

Passo 2

A primeira maneira é:

  1. escrevendo as funções com o mesmo nome de variável e aplicando a regra da cadeia padrão;
  2. Nossas funções são:

    F = G m 1 m 2 r 2

    r ( t ) = 3 t 2 + 1

    Escrevendo essas duas funções em termos de x :

    F = G m 1 m 2 x 2

    r = 3 x 2 + 1

    E fazendo a composição delas:

    F ∘ r x = G m 1 m 2 3 x 2 + 1 2 = G m 1 m 2 3 x 2 + 1 = G m 1 m 2 3 x 2 + 1 - 1

    E agora fazendo a derivada:

    d F d x = - G m 1 m 2 3 x 2 + 1 2 . 6 x

    Mas x = t , então:

    d F d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 . 6 t

    Beleza?

    Passo 3

    A segunda maneira é a seguinte:

  3. Substituindo a segunda função dentro da primeira e já trabalhando com a primeira função na variável sobre a qual queremos derivar
  4. A primeira função é a F , é a que queremos derivar. A segunda é r que está em função da variável que queremos derivar, então seguindo esse passo, vamos começar substituindo a função F em r :

    F = G m 1 m 2 r 2

    r ( t ) = 3 t 2 + 1

    Então:

    F = G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 = G m 1 m 2 3 t 2 + 1

    E agora podemos derivar F em relação a t :

    d F d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 . 6 t

    Viu só? O resultado foi o mesmo! O importante é fazer a composição e derivar! Vamos encontrar a derivada agora pela terceira maneira?

    Passo 4

    A terceira (e última, ufa!) maneira é:

  5. usando a fórmula d u d t = d u d x d x d t , obtendo uma escrita híbrida com x e t , e depois substituir x pelo seu valor em termos de t .

Vamos começar identificando as variáveis: no nosso caso F = u , r = x e t = t .

Precisamos agora achar d u / d x e d x / d t .

Então:

F = G m 1 m 2 r 2

u = G m 1 m 2 x 2

E a derivada de u em relação a x é:

d u d x = - 2 G m 1 m 2 x 3

Beleza?

E agora r   :

r = 3 t 2 + 1

x = 3 t 2 + 1

E a derivada de x em relação a t é:

d x d t = 1 2 3 t 2 + 1 . 6 t = 3 t 3 t 2 + 1

Por fim vamos aplicar a fórmula dada:

d u d t = d u d x d x d t = - 2 G m 1 m 2 x 3 . 3 t 3 t 2 + 1 = - G m 1 m 2 x 3 3 t 2 + 1 . 6 t

Encontramos uma forma híbrida (com x e t para o resultado da derivada), então agora vamos substituir x = 3 t 2 + 1 para ter apenas em t :

d u d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 3 . 3 t 2 + 1 1 2 . 6 t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 3 2 . 3 t 2 + 1 1 2 . 6 t

d u d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 4 2 . 6 t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 . 6 t

E como F = u podemos voltar para F e ter o resultado que queremos:

d F d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 . 6 t

Beleza?

Seja por qual caminho você escolher: o resultado dá sempre o mesmo!

Espero ter ajudado!

Vamos para a próxima questão?

Resposta

d F d t = - G m 1 m 2 3 t 2 + 1 2 . 6 t

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