17 – Derive.

h) y = e - 3 x + ln ⁡ a r c t g x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que calcular a derivada de y , dada por

y = e - 3 x + ln ⁡ a r c t g x

Porém essa função possui algumas características que dificultam o cálculo da sua derivada. Por exemplo, sabemos calcular a derivada de e x mas a derivada de e - 3 x não é calculado da mesma forma.

Então como calculamos a derivada de y com base na nessas características que ela possui? 🤔🤔

Perceba que e - 3 x e ln ⁡ a r c t g x são duas funções compostas. Então nesses casos, as suas derivadas são obtidas pela regra da cadeia, que consiste em calcular a derivada de dentro e multiplicar pela derivada de fora.

y = f g x ,     y ' = g ' x · f ' g x

Vamos aplicar essa técnica no nosso problema? 😁

Passo 2

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, logo, y ' pode ser escrito como

y ' = d e - 3 x + ln ⁡ a r c t g x d x → y ' = d e - 3 x d x + d ln ⁡ a r c t g x d x

Aplicando a regra da cadeia para e - 3 x , vemos que f g x = e g x e g x = - 3 x .

Substituindo g x por uma variável em f g x , temos f u = e u .

Então a regra da cadeia para essa parcial de y é dada por

d e - 3 x d x = d - 3 x d x · d e u d u

Agora para a segunda parcial, fazendo as mesmas aplicações...

Agora f g x = ln ⁡ g x e g x =   a r c t g x . Dessa vez substituindo g x por v em f g x .

d ln ⁡ a r c t g x d x = d a r c t g x d x · d ln ⁡ v d v

Substituindo em y ' ...

y ' = d - 3 x d x · d e u d u + d a r c t g x d x · d ln ⁡ v d v

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

A derivada de - 3 x é obtida a partir do método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente.

d - 3 x d x = - 3 x 1 - 1 = - 3

Já as derivadas de e u , a r c t g x e ln ⁡ v são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo.

Esse teorema é usado caso as funções que temos que derivar não podem ser obtidas por métodos tradicionais, como por exemplo funções trigonométricas e funções logarítmicas.

d e u d u = e u

d a r c t g x d x = 1 x 2 + 1

d ln ⁡ v d v = 1 v

Substituindo essas derivadas em y ' , temos

y ' = - 3 · e u + 1 x 2 + 1 · 1 v

Não podemos deixar a resposta em função de u e v , então vamos substituir u por - 3 x e y por a r c t g x de volta!

y ' = - 3 · e - 3 x   + 1 x 2 + 1 · 1 a r c t g x

y ' = - 3 e - 3 x   + 1 x 2 + 1 a r c t g x

Essa é nossa resposta! Gostou?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

y ' = - 3 e - 3 x   + 1 x 2 + 1 a r c t g x

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