Calcule d y d x para as funções dadas a seguir:

d) y ( x ) = 1 x - 1

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente calcular a derivada da função y(x) em relação à x. Bem, a gente sabe que a derivada é uma operação linear. Então, a derivada de uma soma de funções é simplesmente a soma das derivadas das funções

f ( x ) = h ( x ) + g ( x )   ⇒   d f ( x ) d x = d d x ( g ( x ) + h ( x ) ) = d g ( x ) d s + d h ( x ) d x

Além disso, por ser uma operação linear, a derivada de uma função de x vezes uma constante, que por ser constante não depende da variável x, é simplesmente a constante vezes a derivada da função

f ( x ) = a × g ( x )   ⇒   d f ( x ) d x = d ( a × g ( x ) ) d x = a × d g ( x ) d x

Então, com essas informações sobre a operação de derivação, podemos calcular a derivada da nossa função. Então vamos lá!

Passo 2

A função y ( x ) que a gente quer derivar é dada pela composição de duas funções: g ( w ) = 1 w = w - 1 2 e w ( x ) = x - 1 . Então, podemos escrever a função y(x) como:

y ( x )   =   g ( w ( x ) )

Assim pela regra da cadeia, a derivada d y d x será simplesmente a derivada de g em relação a w vezes a derivada de w em relação à x.

d d x y ( x ) = d d w g ( w ) × d d x w ( x )

Como a derivada uma função do tipo x n é dada por:

d x n d x = n × x ( n - 1 )

Temos que, a derivada da função g(w) (que pode ser escrita como uma função do tipo acima com n = - 1 2 ) é, então:

d g ( w ) d w = - 1 2 w - 3 2 = - 1 2 w ³

A função w ( x ) , por outro lado, pode ser escrita como um polinômio de grau n = 1. Então, utilizando a linearidade da derivada e sabendo que -1 é uma constante, temos que

d w ( x ) d x = d d x ( x ) + d d x ( - 1 ) = 1 x ⁰ = 1

Então, a derivada de y(x), que é simplesmente a composição de g(w) e w(x), é dada por

d y d x = - 1 2 w ³ × ( 1 ) = - 1 2 w ³ = - 1 2 ( x - 1 ) ³

Resposta

d y d x = - 1 2 ( x - 1 ) ³

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