Sejam f x = 2 x + 1 e g x = t g   x , calcule f ∘ g ' π 4

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzi-la para você! Vamos lá

Sejam f x = 2 x + 1 e g x = t g   x ,

Até aqui tudo bem, o problema apenas nos deu duas funções. A seguir temos:

calcule f ∘ g ' π 4

Mas calma! Você já sabe que quando tem uma ‘aspinha’ em alguma função significa dizer que queremos a derivada dessa função:

a l g u m a   f u n ç ã o ' = d e r i v a d a   d e s s a   f u n ç ã o

Tudo bem até aqui?

Dentro desse sinal de derivada temos o seguinte:

f ∘ g

Isso aqui significa dizer que queremos a função f composta com a função g

Ou seja, no argumento da função f (no nosso caso o x ) vamos substituir a função g ! O resultado disso é uma função composta!

Beleza?

E aquele π 4 ? É o ponto que queremos aplicar a derivada! Então nossa missão é o seguinte:

  • Encontrar a função composta
  • Derivar essa função
  • Aplicar a derivada no ponto
  • Simplificar, se possível

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossas funções são:

f x = 2 x + 1 ;   g x = t g   x

E precisamos encontrar

f ∘ g

Sendo assim, onde tem ( x ) na f vamos substituir pela função g ( x ) :

f x = 2 x + 1

f ∘ g = f g ( x ) = 2 t g   x + 1

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Nosso próximo passo é derivar a função composta que encontramos! Nossa função é:

f ∘ g = 2 t g   x + 1

Vamos derivar esse negócio agora!

Logo de cara vemos que temos uma raiz com outra raiz por dentro. Quando temos uma função dentro da outra usamos a: REGRA DA CADEIA

A regra da cadeira consiste em: derivar a função mais de fora (no caso a raiz quadrada) e usar como argumento tudo que está dentro dela.

Nesse caso: 2 t g   x + 1 . E depois? Depois multiplicar pela derivada dessa coisa!

Ta tranquilo?

então a derivada é:

f ∘ g ' = 1 2 2 t g   x + 1   . 2 t g   x + 1 '

E agora? Terminou? Não! Agora precisamos derivar aquele argumento!

Vamos lá! Usando novamente a regra da cadeia:

f ∘ g ' = 1 2 2 t g   x + 1   . 1 2 t g x . 2 . t g x '

E por fim derivar a tangente (último argumento e função mais ‘interna’):

f ∘ g ' = 1 2 2 t g   x + 1   . 1 t g x . sec 2 ⁡ x

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Nosso último passo é aplicar a derivada no ponto x = π / 4 :

f ∘ g ' = 1 2 2 t g   x + 1   . 1 t g x . sec 2 ⁡ x

f ∘ g ' π 4 = 1 2 2 t g π 4 + 1   . 1 t g π 4 . sec 2 ⁡ π 4

Agora é só substituir os valores e simplificar:

f ∘ g ' π 4 = 1 2 2 1 + 1 . 2 2 2 = 4 / 2 2 3 = 1 3  

E é isso:

f ∘ g ' π 4 = 1 3  

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ∘ g ' π 4 = 1 3  

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