Seja f a função definida por

f x = x 3 - 8 3 ,                                                                                                 s e   x ≥ 0 x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ,                                       s e   x < 0

( a ) Determine os pontos em que f é derivável. Justifique.

( b ) Calcule f ' ( x ) nos pontos em que f é derivável.

Passo 1

Eu vou começar resolvendo a questão pela Letra ( b ) para poder analisar logo a continuidade da função e de sua derivada para, assim, determinar na ( a ) os pontos onde f é derivável.

( b ) Vamos calcular as duas derivadas então. A primeira, para x ≥ 0 , é mais tranquila:

x 3 - 8 3 ' = x 3 - 8 ' 3 x 3 - 8 3 2

= 3 x 2 3 x 3 - 8 3 2

= x 2 x 3 - 8 2 3

Essa derivada vale para x ≥ 0 com x ≠ 2 .

Passo 2

Para o domínio x < 0 a derivada vai dar mais trabalho, vamos ter que usar a regra do Produto, do quociente e da cadeia, todas juntas:

x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x '

= x 3 ' sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x '

= 3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + x 3 cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x arctg ⁡ 5 x + 2 x '

= 3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + x 3 cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x arctg ⁡ 5 x + 2 ' x - arctg ⁡ 5 x + 2 x ' x 2

= 3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x x 3 5 x ' 1 + 25 x 2 x - arctg ⁡ 5 x - 2 x 2

= 3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 - x arctg ⁡ 5 x - 2 x

É, esse monstro enorme é nossa derivada...

Agora vou voltar na letra ( a ) E observar a continuidade da função e de sua derivada.

Passo 3

( a ) Agora retomando o primeiro item; ok, sabemos que o x 3 - 8 3 , que é válido em f para x ≥ 0 , é uma função sem nenhuma descontinuidade. Olhando para o domínio de f onde temos x < 0 notamos que x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x só tem descontinuidade em x = 0 . Como seu domínio é em x < 0 esse não seria um problema para a continuidade. Porém, como em x = 0 temos uma mudança de domínio, devemos observar se os limites laterais batem para ver se ela é contínua:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ x 3 - 8 3

= 0 - 8 3

= - 2

Caímos numa indeterminação no segundo limite para a qual podemos usar o Teorema do Confronto:

lim x → 0 - ⁡ x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x = 0 sen ⁡ ( - ∞ )

- 1 ≤ sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ≤ 1

lim x → 0 - ⁡ - x 3 ≤ lim x → 0 - ⁡ x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ≤ lim x → 0 - ⁡ x 3

0 ≤ lim x → 0 - ⁡ x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x ≤ 0

lim x → 0 - ⁡ x 3 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x = 0

Assim, a gente conclui que os limites laterais não batem e a f não é contínua em 0 , sendo também não derivável neste ponto.

Passo 4

Observando a continuidade das funções que achamos derivando, pela letra b :

3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 - x arctg ⁡ 5 x - 2 x ,

p a r a   x < 0

x 2 x 3 - 8 2 3 ,       p a r a   x ≥ 0

Só temos problema de continuidade de f ' em x = 0 , que já excluímos dos pontos deriváveis, e em x = 2 , pois x 2 x 3 - 8 2 3 gera uma indeterminação para esse valor de x .

Qual é a conclusão? f não é derivável em x = 2 também, mas será derivável nos demais pontos.

Resposta

a   x ≠ 0 ; x ≠ 2

b   3 x 2 sen ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x + cos ⁡ arctg ⁡ 5 x + 2 x 5 x 2 1 + 25 x 2 - x arctg ⁡ 5 x - 2 x ,

p a r a   x < 0

x 2 x 3 - 8 2 3 ,       p a r a   x ≥ 0

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