C3. Encontre os pontos   ( x 0 , y 0 ) do gráfico da função f x = 41 + 3 x x - 3 nos quais a reta tangente ao gráfico é paralela à reta y =   - 2 x + 3 .

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse problema a gente tem que encontrar uma reta tangente à função

f x = 41 + 3 x x - 3

Mas não é qualquer reta tangente... São aquelas que são paralelas à reta y =   - 2 x + 3 . Bom... a reta tangente associada a uma curva possui equação dada por

y r = m   x - x 0 +   y 0  

Onde ( x 0 , y 0 )   são pontos da curva e m é a inclinação da curva... Mas a gente tem que lembrar que esse m é a derivada da função no ponto dado:

m = f ' ( x 0 )

Até aí beleza... mas a gente tem que lembrar que se tivermos duas retas dadas por equações: y 1 = m 1   x - x 1 +   y 1  

y 2 = m 2   x - x 2 +   y 2

A condição delas serem paralelas é que m 1 = m 2 . Comparando a equação da reta tangente com a reta do problema, temos que:

m =   - 2 f ' x 0 =   - 2

Então a gente tem que encontrar os pontos em que a derivada da função do problema é igual a - 2 ! Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função dada:

f x = 41 + 3 x x - 3

Para calcular essa derivada usamos a regra da cadeia: A B ' = A ' B - A B ' B 2

Temos então:

f ' x = 41 + 3 x ' x - 3 - 41 + 3 x x - 3 ' x - 3 2   f ' x = 3 x - 3 - 41 + 3 x . 1 x 2 - 6 x + 9 f ' x = 3 x - 9 - 41 - 3 x x 2 - 6 x + 9 =   - 50 x 2 - 6 x + 9

Passo 3

Agora que temos a derivada da função, precisamos encontrar o valor de x 0 que satisfaça a equação

f ' x 0 =   - 2 - 50 x 0 2 - 6 x 0 + 9 =   - 2

Passando aquele polinômio para a direita e o - 2 para a esquerda temos: 25 = x 0 2 - 6 x 0 + 9 Ou melhor:

x 0 2 - 6 x 0 - 16 = 0

OPA! Nos deparamos com uma equação do segundo grau e podemos resolver da maneira que você quiser... resolvendo isso temos duas soluções:

x 0 = 8 x 0 = - 2

Como o problema quer os pontos ( x 0 , y 0 ) a gente joga esses valores de x 0 na função f x = 41 + 3 x x - 3

Para encontrar os y 0 !

Passo 4

Para   x 0 = 8 temos:

y 0 = f 8 =   41 + 3.8 8 - 3 y 0 = 13

Dando o primeiro ponto ( 8,13 ) Para   x 0 = - 2 temos:

y 0 = f 8 =   41 + 3 . ( - 2 ) ( - 2 ) - 3 y 0 = - 7

Dando o primeiro ponto ( - 2 , - 7 )

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

8,13   e   ( - 2 , - 7 )  

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