Sejam f e g funções e suponha que f - 2 =   8 ,   f ' - 2 =   4 ,   f ' 5 =   3 ,   g 5 =   - 2   e   g ' ( 5 )   =   6 . Se h ( x )   =   f ( g ( x ) ) , determine h ' ( 5 ) .

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

h x =   f g x

E pediu a derivada!

Sendo assim, queremos saber quem é h ' ( 5 )

O problema é que o argumento da função h são outras duas funções! Uma dentro da outra ainda! Isso significa que x h ( x ) é uma função composta!

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta a ( b ( x ) ) , a derivada dessa função é:

a b x ' = a ' b x . b ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro a ' b x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro b ' ( x )

E é exatamente o que temos aqui!

Nossa função h ( x ) é a composição de duas outras funções: f ( g ( x ) )

Então a ideia aqui para achar a derivada de h ( x ) é aplicar a regra da cadeia!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos juntos?

Passo 2

Como comentei ali no passo anterior sobre a regra da cadeia.

a b x ' = a ' b x . b ' ( x )

Nossa função é h x = f ( g ( x ) ) , ou seja, f = a e g = b .

Aí a derivada de h ( x ) fica:

h ' x = f ' g x . g ' ( x )

Beleza? E isso se aplica a qualquer valor de x ! O problema pediu a derivada h ' ( 5 ) , mas poderíamos aplicar essa regra para qualquer outro valor.

Agora nosso problema passa a ser achar quem são

f ' ( g ( x ) )

E

g ' ( x )

Passo 3

O problema pediu a regra da cadeia no ponto x = 5 , então nossa regra da cadeia aplicada em x = 5 é:

h ' 5 = f ' g 5 . g ' ( 5 )

E se liga só nas informações que o problema nos dá:

1 : f - 2 =   8 ,  

2 :   f ' - 2 =   4 ,

  3 : f ' 5 =   3 ,

  4 : g 5 =   - 2  

5 : g ' ( 5 )   =   6

Não temos a cara das funções f e g , então precisamos determinar os argumentos delas para identificar qual valor é o correspondente.

Então vou começar substituindo os argumentos de f ' , de g ( 5 ) por - 2 (informação (4)) e da derivada de g , de g ' ( 5 ) por 6 (informação (5)).

h ' 5 = f ' - 2 .   6

Mas quem é aquele f ' ( - 2 ) ? É a informação (2)!

h ' 5 = 4.6 = 24

Beleza?

Sendo assim, nossa resposta é h ' 5 = 24

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

h ' 5 = 24

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