Sejam g diferenciável e f x = x g x 2

  1. Calcule g ( 4 ) , sabendo que g 4 + g ' 4 = 1 e f ' 2 = - 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão é uma continuação, e nada mais justo usar o resultado obtido no item anterior né?

Nessa questão tinha assim:

E mostramos efetivamente esse resultado! O problema nos deu a função f e usando a regra do produto + regra da cadeia conseguimos chegar nesse resultado bonitão aí!

Mas se você tem alguma dúvida é só dar uma espiadinha da questão 14(a) da Lista 7 de Cálculo 1! Beleza?

Vamos ao que ESSE problema pede?

“Calcule g ( 4 )

Opa, agora queremos o valor da função g em um ponto específico, mas qual seria esse ponto? Lembra que o argumento da g é o x 2 , então o ponto é quando

x 2 = 4

x = 2

Ou seja, quando g ( 4 ) temos f ( 2 ) !

E quais são as outras informações que o problema nos dá? São suas, olha só:

  1. sabendo que g 4 + g ' 4 = 1
  2. e f ' 2 = - 1

Justamente o ponto que temos! Então para resolver essa aqui vamos fazer o seguinte:

  • usar o resultado da questão 14ª para obter uma equação que envolve g e g '
  • usar essa outra equação que o problema deu, juntamente com o valor de f '
  • e tentar achar g ( 4 ) !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

No resultado que achamos em 14(a) temos:

f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2

E aplicando x = 2 temos:

f ' 2 = g 2 2 + 2 . 2 2 g ' 2 2

O que nos dá:

f ' 2 = g 4 + 8 g ' 4

f ' 2 = - 1 temos o seguinte:

g 4 + 8 g ' 4 = - 1

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é juntar esse resultado com a informação dada pelo enunciado. O resultado é:

g 4 + 8 g ' 4 = - 1

Mas temos do enunciado:

g 4 + g ' 4 = 1

Então dessa segunda equação vamos isolar g ' ( 4 ) , porque ele não nos interessa:

g ' 4 = 1 - g ( 4 )

E substituir no nosso resultado:

g 4 + 8 g ' 4 = - 1

g 4 + 8 1 - g 4 = - 1

E assim ficamos com uma equação com apenas uma incógnita: nossa querida g ( 4 ) !

Resolvendo temos:

g 4 + 8 - 8 g 4 = - 1

- 7 g 4 = - 1 - 8

g 4 = - 9 - 7

E por fim nosso resultado final é:

g 4 = 9 7

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

g 4 = 9 7

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