Derive:

h )   f ( v ) = ( v v 3 + 1 ) 6

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

f ( v ) = ( v v 3 + 1 ) 6           ( 1 )  

Note que a nossa função é da forma

f ( v ) = g ( h ( v ) i ( v ) )

Ou seja, é uma função composta, em que uma das funções é um quociente de duas outras funções! Sendo assim, será conveniente usarmos a regra da cadeia

d d v [ g ( j ) ] = d g ( j ) d j d j d v

em que j ( v ) = h ( v ) / i ( v ) . E, também iremos usar a regra do quociente

d d v [ h ( v ) / i ( v ) ] = d d v [ h ( v ) ] i ( v ) - h ( v ) d d v [ i ( v ) ] [ i ( v ) ] 2

Agora é só identificar quem é quem! Vamos lá!

Passo 2

Derivando em ambos os lados da equação (1) temos que

d d v [ f ( v ) ] = d d v [ ( v v 3 + 1 ) 6 ]

Primeiro precisamos utilizar a regra da cadeia, para isso, podemos identificar que g ( j ) = j 6 ,e portanto, temos que

d d v [ g ( j ) ] = d d j [ j 6 ] d d v [ j ( v ) ]

em que j ( v ) = v v 3 + 1 . Se utilizarmos a regra do tombo

d d j [ j 6 ] = 6 j 6 - 1 = 6 j 5

Portanto, nossa derivada se torna

d d v [ ( v v 3 + 1 ) 6 ] = 6 ( v v 3 + 1 ) 5 d d v [ v v 3 + 1 ]

Precisamos então aplicar a regra do quociente na derivada que falta! Vamos lá!

Passo 3

Utilizando a regra do quociente, podemos escrever que

d d v [ v v 3 + 1 ] = d d v [ v ] ( v 3 + 1 ) - v d d v [ v 3 + 1 ] ( v 3 + 1 ) 2

Podemos identificar que

d d v [ v ] = 1

E, também que

d d v [ v 3 + 1 ] = d d v [ v 3 ] + d d v [ 1 ]

Derivadas de constante são zero e usando a regra do tombo, temos que

d d v [ v 3 + 1 ] = 3 v 3 - 1 + 0 = 3 v 2

Nossa derivada é então

d d v [ v v 3 + 1 ] = ( 1 ) ( v 3 + 1 ) - v ( 3 v 2 ) ( v 3 + 1 ) 2 = 1 - 2 v 3 ( v 3 + 1 ) 2

Vamos usar estes resultados em nossa derivada original! Vem comigo!

Passo 4

Nós estamos calculando

d d v [ ( v v 3 + 1 ) 6 ] = 6 ( v v 3 + 1 ) 5 d d v [ v v 3 + 1 ]

Usando o resultado que acabamos de calcular, podemos obter

d d v [ ( v v 3 + 1 ) 6 ] = 6 ( v v 3 + 1 ) 5 [ 1 - 2 v 3 ( v 3 + 1 ) 2 ]

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d v [ ( v v 3 + 1 ) 6 ] = 6 ( v v 3 + 1 ) 5 [ 1 - 2 v 3 ( v 3 + 1 ) 2 ]

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