Derive:

f )   y = e t g ( x 2 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = e t g ( x 2 )

Para fazer isso, vamos utilizar algumas derivadas conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

A regra da cadeia diz que para uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( i ( x ) ) ) , temos que

d d x [ f ( g ( i ( x ) ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d i [ g ( i ) ] d d x [ i ( x ) ]

em nosso caso temos que f ( g ) = e g , g ( i ) = t g ( i ) e, por último, temos que i ( x ) = x 2 . Obtemos então que

d d x [ e t g ( x 2 ) ] = d d g [ e g ] d d i [ t g ( i ) ] d d x [ x 2 ]

Aqui temos algumas derivadas conhecidas, e uma derivada que requer a regra do tombo! A derivada da tangente pode ser demonstrada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, mas como esta é outra questão da lista, aqui tomaremos a derivada da tangente como conhecida! No site temos a demonstração se estiver com dúvidas! Agora vamos lá!

Passo 3

Nós temos que

d d g [ e g ] = e g

e, também que

d d i [ t g ( i ) ] = s e c 2 ( i )

e, pela regra do tombo nós temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

com n = 2 , podemos escrever que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

Agora vamos juntar todos os nossos resultados! E a resposta está nas nossas mãos! Saca só!

Passo 4

Usando que g = t g ( x 3 ) e i = x 3 , temos que a derivada se resume a

d d x [ e t g ( x 2 ) ] = d d g [ e g ] d d i [ t g ( i ) ] d d x [ x 2 ] = [ e t g ( x 2 ) ] [ s e c ( x 2 ) ] [ 2 x ]

Rearranjando os termos, obtemos que

d d x [ e t g ( x 2 ) ] = 2   x   s e c ( x 2 ) e t g ( x 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ e t g ( x 2 ) ] = 2   x   s e c ( x 2 ) e t g ( x 2 )

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