17 – Derive.

i) f x = a r c s e n e x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nosso objetivo nesse problema é calcular a derivada de f x dada por

f x = a r c s e n e x

Se fossemos tentar calcular essa derivada por meio de métodos mais diretos, não íamos conseguir pois f x é uma função composta, então é necessário aplicar um método diferente nesse caso!

Sabe qual método podemos utilizar? 🤔🤔

Para funções compostas do tipo f x = g h x , usamos a regra da cadeia.

Esse método consiste em calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora, ou seja

f ' x = h ' x · g ' h x

Vamos ver como fica no nosso caso? 😎

Passo 2

Comparando f x = g h x com nossa função f x = a r c s e n e x , vemos que

h x = e x g h x = a r c s e n h x

Portanto a derivada de f x é dada pela regra da cadeia como

f ' x = h ' x · g ' h x

f ' x = d e x d x · d a r c s e n h x d h x

Para facilitar a visualização do que temos que derivar, vamos substituir h x por uma variável qualquer na derivada de a r c s e n h x

f ' x = d e x d x · d a r c s e n u d u

Para obter a derivada de e x e de a r c s e n u temos que recorrer ao teorema fundamental do cálculo já que não podemos aplicar métodos convencionais para obter essas derivadas. Portanto temos que

d e x d x = e x

d a r c s e n u d u = 1 1 - u 2

Substituindo em f ' x ...

f ' x = e x · 1 1 - u 2

Não podemos deixar o resultado em função de u , então substituímos u por h x e posteriormente por e x .

f ' x = e x · 1 1 - e x 2

Como x a b = x a b , então

f ' x = e x · 1 1 - e 2 x

f ' x = e x 1 - e 2 x

E então essa é a derivada que tínhamos que calcular!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = e x 1 - e 2 x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x