Derive:

e )   y = 2 3 x 2

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y = 2 3 x 2           ( 1 )  

Essas funções que tem uma coisa elevada a outra é sempre conveniente derrubar o que está no expoente, mas como??? Existe uma propriedade do logaritmo que é bem útil, lembre que

l n ( a b ) = b   l n ( a )

Se usarmos isso em conjunto com a regra da cadeia! Temos um bom caminho para resolver a questão! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo dos dois lados na equação (1), temos que

l n ( y ) = l n ( 2 3 x 2 )

Usando a propriedade do logaritmo temos que

l n ( y ) = 3 x 2 l n ( 2 )

Agora, se derivarmos de ambos os lados, temos que

d d x [ l n ( y ) ] = l n ( 2 ) d d x [ 3 x 2 ]

Hmmm… não é exatamente o que queríamos! Mas ainda podemos reescrever isso um pouquinho repetindo o que fizemos anteriormente, consegue enxergar? Antes disso, vamos resolver um pouco a derivada do lado esquerdo!

Passo 3

Qual o problema com o lado esquerdo de nossa derivada? Nós queremos a derivada de y e não de l n ( y ) , para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f d g d g d x

em que f = l n ( g ) e g = y . Portanto, usando que

d d g l n ( g ) = 1 g

podemos escrever que

d d x l n ( y ) = 1 y d y d x

Ou seja, nossa derivada original é da seguinte forma

1 y d y d x = l n ( 2 ) d d x [ 3 x 2 ]

Se isolarmos a derivada, temos que

d y d x = y   l n ( 2 ) d d x [ 3 x 2 ] = 2 3 x 2 l n ( 2 ) d d x [ 3 x 2 ]           ( 2 )

Ótimo! Vamos guardar esse resultado por hora, e calcular a derivada que falta! Belezinha?

Passo 4

Temos que calcular a seguinte derivada

d d x [ 3 x 2 ]

Ou seja, da mesma forma que inicialmente, queremos uma derivada de uma função da forma

f = 3 x 2

Se usarmos o mesmo truque do logaritmo, podemos escrever o seguinte

l n ( f ) = l n [ 3 x 2 ] = x 2 l n ( 3 )

E, calculando a derivada de ambos os lados, temos que

d d x [ l n ( f ) ] = l n ( 3 ) d d x [ x 2 ]

O lado esquerdo é idêntico ao que fizemos no passo anterior, portanto, podemos escrever que

1 f d f d x = l n ( 3 ) d d x [ x 2 ]

Usando que f = 3 x 2 , e isolando a derivada, temos que

d d x [ 3 x 2 ] = 3 x 2 l n ( 3 ) d d x [ x 2 ]

Agora vamos voltar para a nossa derivada original! Belezinha?

Passo 5

Relembrando que

d y d x = 2 3 x 2 l n ( 2 ) d d x [ 3 x 2 ]

E, usando o que acabamos de calcular, temos que

d y d x = 2 3 x 2 l n ( 2 ) 3 x 2 l n ( 3 ) d d x [ x 2 ]

Se aplicarmos a regra do tombo, temos que

d d x [ x 2 ] = 2 x 2 - 1 = 2 x

E, podemos reescrever a nossa derivada final como

d y d x = 2 l n ( 2 ) l n ( 3 ) x 3 x 2 2 3 x 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d y d x = 2 l n ( 2 ) l n ( 3 ) x 3 x 2 2 3 x 2

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