Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 10.

Derive a seguinte função (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função).

f x = c o s ² x

Passo 1

Neste caso é como se tivéssemos uma função “dentro” da outra. A função cos ⁡ x estaria dentro da função x 2 , deste modo:

f x → cos ⁡ x → c o s 2 x

Agora, a gente consegue separar a função em duas. Então vamos chamar a função cosseno de h x e a função x 2 de g x , ficando assim,

h x = cos ⁡ x       ;       g x = x 2

Como, a função cosseno está dentro da função x 2 . Teremos,

f x = g h x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A gente tem pela Regra da Cadeia que, para uma f x = g h x qualquer, temos sua derivada dada por:

f ' x = g ' h x h ' x

O que isso que dizer? Nós vamos primeiro derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro.

Derivando a função de fora ficamos com,

g ' x = x 2 ' = 2 x

Derivando a função de dentro ficamos com,

h ' x = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 3

Agora substituímos na fórmula da derivada pela Regra da Cadeia:

f ' x = g ' h x h ' x = 2 h x - sen ⁡ x

= - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Essa é a derivada!

Resposta

f ' x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

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