Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Derive:

y = x sinh ⁡ x

Passo 1

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

a = e ln ⁡ a

Sendo a um número qualquer. Ok, mas se ao invés de a tivéssemos uma função?

f x = e ln ⁡ f x

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

y = e ln ⁡ y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

y = e ln ⁡ x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se lembrarmos bem, quando derivamos e elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

e g x ' = g ' x   ∙   e g x

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

y = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

A gente vê bem que é esse g x . No caso, vai ser:

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

g ' x = sinh ⁡ x   ' ∙   ln ⁡ x +   sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x '

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Passo 3

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

y ' = e g x ' = g ' x   ∙   e g x

g x = sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

g ' x = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Juntando tudo:

y ' = cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x   e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

x sinh ⁡ x = e sinh ⁡ x   ∙   ln ⁡ x

Fechamos a questão com:

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

Resposta

y ' =   x sinh ⁡ x   cosh ⁡ x ln ⁡ x + sinh ⁡ x x

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