Derive:

v )   y = l n [ c o s ( 2 x ) ]

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = l n [ c o s ( 2 x ) ]

Para isso iremos utilizar a regra da cadeia e algumas propriedades básicas da derivada, assim como derivadas conhecidas! Vamos relembrá-las uma a uma quando necessário! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, queremos calcular essa derivada, portanto, temos que

y ' = d d x [ l n [ c o s ( 2 x ) ] ]

Vamos lembrar que quando temos uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que a derivada será obtida pela regra da cadeia, ou seja

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

se identificarmos que f ( g ) = l n ( g ) e que g = c o s ( 2 x ) , temos que a derivada será dada por

d d x [ l n [ c o s ( 2 x ) ] ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ c o s ( 2 x ) ]

Consegue lembrar qual serão os resultados individuais? Bora resolver isso!

Passo 3

De cara, temos que a seguinte derivada é conhecida

d d g [ l n ( g ) ] = 1 g

Para a próxima derivada precisamos lembrar a seguinte propriedade

d d x [ f ( c x ) ] = c d d ( c x ) f ( c x )

Ou seja, temos que a seguinte derivada é conhecida

d d x [ c o s ( 2 x ) ] = 2 [ d d ( 2 x ) c o s ( 2 x ) ] = - 2   s e n ( 2 x )

Maravilha! Agora é só juntar nossos resultados para obter que

d d x [ l n [ c o s ( 2 x ) ] ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ c o s ( 2 x ) ] = [ 1 c o s ( 2 x ) ] [ - 2   s e n ( 2 x ) ]

em que é bom lembrar que g = c o s ( 2 x ) , e apenas reorganizando os números para ficar bonitinho, temos que

d d x [ l n [ c o s ( 2 x ) ] ] = - 2   s e n ( 2 x ) c o s ( 2 x ) = - 2   t g ( 2 x )

já que t g ( 2 x ) = s e n ( 2 x ) / c o s ( 2 x ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ l n [ c o s ( 2 x ) ] ] = - 2   t g ( 2 x )

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