Calcule as derivadas:

  1. f x = x x 2 + e x
  2. g x = x 2 + 3 x + 1  

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo bem com vocês? Nosso primeiro passo vai ser reescrever nossa função em um formato que nos permita calcular a derivada a partir de derivadas que a gente aprende nos nossos cursos de cálculo, isso porque não sabemos a derivada x x 2 , certo?

Bora lá, o truque que vamos utilizar e que quase sempre funciona quando a gente encontra expressões como essa da nossa questão onde aparece um x no expoente é tentar tirar o logaritmo natural e depois elevar a e . Vamos relembrar que e x e l n l n   x   são funções inversas, o que quer dizer que fazer uma operação e depois a outra é o mesmo que fazer nada, seria como se, por exemplo, nós multiplicássemos nossa expressão por 2 e depois dividíssemos por 2 .

Bom, você deve então estar se perguntando: “se tirar o   l n e depois elevar a e é o mesmo que fazer nada, o que eu ganho com isso?” Excelente pergunta! Acontece que diferente de x x 2 , as derivadas de e x e l n l n   x   são duas que nós costumamos aprender e decorar nos nossos cursos de cálculo. Reescrever nossa expressão em função dessas outras duas vai permitir com que a gente determine a derivada geral. Além disso, os logaritmos têm a incrível propriedade de nós podermos pegar um expoente e passar multiplicando para frente, o que facilita muito as nossas vidas! Se liga então:

x x 2 = e l n l n   x x 2   = e x 2 l n l n   x  

Passo 2

Beleza! Já reescrevemos nossa expressão em um formato conveniente para calcular a derivada. Agora, o próximo passo é aplicarmos a Regra da Cadeia, que diz o seguinte:

g h x ' = g ' h x ⋅ h ' x

Calma lá! Essa expressão parece complicada, mas vamos destrinchá-la pra gente entender melhor. Nessa questão temos que calcular a derivada de e x 2 l n l n   x   , mas podemos pensar nessa função como a composta de outras duas, conforme ilustrado na figura abaixo:

Primeiro nós pegamos nosso número x   e passamos pela função h . O resultado dessa operação, nós aplicamos na função g !

Para aplicarmos a Regra da Cadeia, precisamos tanto da derivada de h quanto da derivada de g . Como a derivada da exponencial é ela mesma, temos:

g ' x = e x

Agora, para calcular a derivada de h , precisamos utilizar a Regra do Produto:

h ' x = x 2 l n l n   x   ' = x 2 ' l n l n   x   + x 2 l n l n   x   ' = 2 x l n l n   x   + x 2 1 x = 2 x l n l n   x   + x

Show! Só nos falta então, para aplicar a Regra da Cadeia completa, calcular quem é g ' h x :

g ' h x = g ' x 2 l n l n   x   = e x 2 l n l n   x  

Mas já vimos no Passo 1 que a expressão acima é equivalente a x x 2 . Logo:

g ' h x = e x 2 l n l n   x   = x x 2

Finalmente, juntando todos os nossos passos, temos, da Regra da Cadeia:

g h x ' = g ' h x ⋅ h ' x = x x 2 ⋅ 2 x l n l n   x   + x

Passo 3

Beleza, agora que já determinamos a derivada de x x 2 , só nos resta lembrar que a derivada da soma é a soma das derivadas!

f ' x = x x 2 + e x ' = x x 2 ' + e x ' = x x 2 ⋅ 2 x l n l n   x   + x + e x

Acabamos! Bora pra próxima questão? 😊

Resposta

f ' x = x x 2 ⋅ 2 x l n l n   x   + x + e x

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