Encontre o domínio e a lei que definem a derivada de:

f x = e sin ⁡ x

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora lá para mais uma questãozinha dessa prova.

Esse exercício pede para achar a derivada e o domínio dela, bora começar achando a derivada.

Primeiro, vamos ter que usar a regra da cadeia, bora lembrar como é?

( r g x ' = r ' g x g ' ( x )

No exercício temos f x = r g x ,   onde:

r x = e x

g x = sin ⁡ x

Ou seja, temos que aplicar a fórmula da regra da cadeia para essas funções, bora lá?

Passo 2

Bom, primeiro vamos ver que se tivermos r x = e x e g x = sin ⁡ x , temos:

r ' x = e x

Porém, temos que g é composta, ou seja:

g x = h v x Onde: h x = sin ⁡ x

E

v x = x  

Ou seja:

h ' x = cos ⁡ x   e   v ' x = 1 2 x

Aplicando a regra da cadeia, temos:

g ' x = h ' v x   ∙ v ' ( x )

Ou seja

g ' x = cos ⁡ x ∙ 1 2 x

E agora basta substituirmos isso na relação inicial, bora lá?

Passo 3

Como foi dito:

f ' x = r ' g x g ' ( x )

Temos que:

r ' x = e x

g ' x = cos ⁡ x ∙ 1 2 x

g x = sin ⁡ x

Ou seja:

f ' x = e sin ⁡ x cos ⁡ x ∙ 1 2 x

Agora basta analisar o domínio.

Vale lembrar que o domínio são os possíveis valores de x em f ' ( x ) .

Para analisar isso, veja que temos que para x ser bem definida nos reais, precisamos que x ≥ 0 , dando nossa primeira restrição para o domínio.

Porém veja que temos x num denominador, ou seja x ≠ 0   → x ≠ 0 .

Logo o domínio é x > 0 , pois une as duas necessidades ( x ≥ 0 ,   x ≠ 0 ) .

Bora lá para a próxima questão?

Resposta

f ' x = e sin ⁡ x cos ⁡ x ∙ 1 2 x

D o m í n i o   é   x > 0

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