A equação de movimento de um objeto é dada por s t = 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t ,   t ≥ 0 e s ( t ) em metros e t   em segundos.

  1. Determine a velocidade v ( t ) em m/s
  2. Determine a aceleração a ( t ) em m²/s
  3. Determine a aceleração no t = 1 s
  4. Determine a aceleração no(s) instante(s) em que a velocidade é igual a 0

Passo 1

Bem, primeiro precisamos lembrar da física 1 nesse problema haha

O que é velocidade? É a variação da distância com a variação do tempo

V = Δ S Δ t

Na forma diferencial é dizer que temos:

v t = d S d t

Por sua vez, a aceleração é igual a variação de velocidade no tempo, ou seja:

a = Δ V Δ t

Na forma diferencial,

a = d v d t

Com isso vamos resolver basicamente nosso problema, beleza?

Passo 2

  1. Vamos derivar a função da posição no tempo pra achar a velocidade:
  2. d S d t = d d t 2 t 3 - 3 t 2 - 12 t

    d S d t = v t = 6 t 2 - 6 t - 12

    Passo 3

  3. Por sua vez a aceleração será a derivada da velocidade:

a = d v d t = d d t 6 t 2 - 6 t - 12

a = 12 t - 6

Passo 3

Uma vez definida a equação da aceleração, podemos calcular qual será a mesma para um dado tempo t.

No caso da letra (c), vamos querer calcular em t = 1 s

a = 12 1 - 6 = 6 m s 2

Passo 4

(d) Pra determinar a aceleração quando a velocidade for igual a zero, primeiro temos que achar em qual instante de tempo a velocidade vai ser zero.

Quando a velocidade for igual a zero, temos que:

v t = 6 t 2 - 6 t - 12

v t = t 2 - t - 2 = 0

Fazendo báskara, podemos encontrar as raízes dessa equação, certo?

Δ = b 2 - 4 a c = - 1 2 - 4 1 - 2 = 9

t = - b ±   Δ 2 a = 1 ± 3 2

t 1 = 4 2 = 2

t 2 = - 2 2 = - 1

Como não existe tempo negativo, só vamos usar a raiz positiva, ou seja, t = 2 s quando a velocidade é zero

Logo, a aceleração será:

a t = 2 = 12 t - 6 = 12 2 - 6 = 18   m / s ²

Resposta

a   v t = 6 t 2 - 6 t - 12

b     a t = 12 t - 6

c a = 6   m / s ²

d a = 18   m / s ²

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