Utilizando as regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funçōes:

b) g ( x ) = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 2

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função g ( x ) = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 2 usando as regras de derivação.

A função g ( x ) é a composição de uma função externa f ( x ) = u 2 , onde u = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 . Portanto, para calcular a derivada de g ( x ) , precisamos aplicar a regra da cadeia.

A regra da cadeia diz que se temos uma função composta f ( g ( x ) ) , sua derivada em relação a x é dada por:

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ' ( g ( x ) ) ⋅ g ' ( x )

Passo 2

V a m o s   c a l c u l a r   a s   d e r i v a d a s   d a s   f u n ç õ e s   f ( x )   e   g ( x )   :

  1. Derivada de f ( x ) = u 2 :Usando a regra da potência, a derivada de f ( x ) em relação a u é f ' ( u ) = 2 u .
  2. Derivada de g ( x ) = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 :A derivada de g ( x ) em relação a x é g ' ( x ) = 4 x 3 - 6 x - 2 .Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:

A g o r a ,   a p l i c a n d o   a   r e g r a   d a   c a d e i a ,   t e m o s :

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ' ( g ( x ) ) ⋅ g ' ( x ) = 2 u ⋅ 4 x 3 - 6 x - 2

S u b s t i t u i n d o   u = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1   :

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = 2 x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 ⋅ 4 x 3 - 6 x - 2

Passo 3

S i m p l i f i c a n d o   a   e x p r e s s ã o :

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = 2 4 x 7 - 12 x 5 - 8 x 4 + 4 x 3 + 4 x 3 - 12 x 2 - 8 x + 4

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = 2 4 x 7 - 12 x 5 - 8 x 4 + 4 x 3 + 4 x 3 - 12 x 2 - 8 x + 4

Portanto, a derivada da função g ( x ) = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 2 em relação a x é g ' ( x ) = 8 x 7 - 24 x 5 - 16 x 4 + 16 x 3 - 24 x 2 - 16 x + 8 .

Resposta

a derivada da função g ( x ) = x 4 - 3 x 2 - 2 x + 1 2 em relação a x é g ' ( x ) = 8 x 7 - 24 x 5 - 16 x 4 + 16 x 3 - 24 x 2 - 16 x + 8 .

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