Sejam a ;   b ;   c   ∈   R tais que f ( x )   =   a x   +   b e 4 x 2 + 4 x + 1 e f ' x = 16 x 2 + 56 x + c e 4 x 2 + 4 x + 1 . Determine a ,   b   e   c .

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema deu uma função:

f ( x )   =   a x   +   b e 4 x 2 + 4 x + 1

E sua derivada

f ' x = 16 x 2 + 56 x + c e 4 x 2 + 4 x + 1

a , b e c .

Então a ideia aqui é calcular a derivada dessa função e igualar com a derivada dada! Com isso, vamos ter que uma função (derivada que achamos) só vai ser igual a outra (derivada dada) quando os termos semelhantes tiverem os mesmos coeficientes!

Com isso vamos ter condições para todas essas incógnitas!

Tranquilo? Não?

Mas calma que vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar derivando a função f ( x ) dada:

f ( x )   =   a x   +   b e 4 x 2 + 4 x + 1

Ela é um produto de duas funções: ( a x + b ) e e 4 x 2 + 4 x + 1 , então aqui vou usar a regra do produto:

f ' x = a . e 4 x 2 + 4 x + 1 + a x + b . e 4 x 2 + 4 x + 1 . 8 x + 4

Ainda dá para fazer essas multiplicações e agrupar os semelhantes (mesma potência em x ):

f ' x = a . e 4 x 2 + 4 x + 1 + 8 a x 2 + 4 a x + 8 b x + 4 b e 4 x 2 + 4 x + 1

f ' x = 8 a x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 + 4 a + 8 b x e 4 x 2 + 4 x + 1 + ( a + 4 b ) e 4 x 2 + 4 x + 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos resgatar do enunciado a derivada de f ' x :

f ' x = 16 x 2 + 56 x + c e 4 x 2 + 4 x + 1

A ideia aqui é comparar os termos semelhantes com a derivada que encontramos no passo anterior.

Vamos começar separando os termos, aí temos o seguinte:

f ' x = 16 x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 + 56 x e 4 x 2 + 4 x + 1 + c e 4 x 2 + 4 x + 1

beleza?

Mas já sabemos quanto vale a derivada, calculamos ela no passo anterior:

f ' x = 8 a x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 + 4 a + 8 b x e 4 x 2 + 4 x + 1 + ( a + 4 b ) e 4 x 2 + 4 x + 1

Comparando a derivada que calculamos com a dada temos o seguinte:

f ' x d a d a = f ' x c a l c u l a d a

16 x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 + 56 x e 4 x 2 + 4 x + 1 + c e 4 x 2 + 4 x + 1 = 8 a x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 + 4 a + 8 b x e 4 x 2 + 4 x + 1 + ( a + 4 b ) e 4 x 2 + 4 x + 1

Essa igualdade só é satisfeita quando os coeficientes dos termos semelhantes são iguais. Sendo assim temos três condições:

1 :   8 a x = 16 2 : 4 a + 8 b = 56 3 : ( a + 4 b ) = c

A condição (1) está associada ao termo com x 2 e 4 x 2 + 4 x + 1 , a condição (2) com o termo x e 4 x 2 + 4 x + 1 e a terceira (3) com o termo e 4 x 2 + 4 x + 1 .

Agora nossa missão é determinar a solução para esse sistema.

Passo 4

Nosso sistema:

1 :   8 a = 16 2 : 4 a + 8 b = 56 3 : ( a + 4 b ) = c

Da primeira equação temos

8 a = 16

a = 2

Agora vou substituir esse resultado em (2):

4 2 + 8 b = 56

8 b = 56 - 8 = 48

b = 6

E por fim, substituindo esse último resultado em (3):

c = 2 + 4 6 = 26

Assim nossas incógnitas valem:

a = 2 ,   b = 6 ,   c = 26

E é essa nossa resposta!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

a = 2 ,   b = 6 ,   c = 26

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