Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

16)

ln ⁡ x + 1 x - 1 3

Passo 1

Cara, precisamos derivar essa função composta.

Epa! Se é composta, já significa uma coisa... Teremos que utilizar a regra da cadeia. Mas eu quero te dizer para não se preocupar... Ela é bem tranquila, veja:

1º - Precisamos identificar a função que está por fora e derivar tendo como o argumento a função mais interna.

2º - Multiplicar pela derivada da função mais interna.

No nosso caso, a função mais externa de todas é a o logaritmo natural com a função mais interna (a fração bizarra) como argumento. ;)

Passo 2

f x = ln ⁡ x + 1 x - 1 3   →

Derivando a mais externa primeiro (o ln ⁡   )...

f ' x = 1 x + 1 x - 1 3 ⋅ x + 1 x - 1 3 '

Observe duas coisas:

Uma que derivamos o ln ⁡   , mas colocamos a função de dentro como argumento dele, como se em

ln ⁡ t ' = 1 t

mas no lugar de t , colocamos a função.

Porém, e agora entra a segunda coisa a ser observado, multiplicamos pela derivada da de dentro, saca? E essa é a regra da cadeia pra dar aquela lembrada

Passo 3

Continuamos a derivada...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x + 1 x - 1 3 '

Agora derivando essa fração aplicando sua regra de derivação...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 x + 1 ' - x + 1 x - 1 3 ' x - 1 3 2   →

Repare que na fração surgiram algumas outras derivadas a ser calculada. A primeira delas, também é a composição de uma raiz, função externa, com um termo x + 1 . Derivando usando a regra da cadeia então novamente...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 1 2 x + 1 ⋅ x + 1 ' - x + 1 x - 1 3 ' x - 1 3 2   →

Agora essas duas derivadas estão fáceis...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 1 2 x + 1 - x + 1 3 x - 1 2 ⋅ x - 1 ' x - 1 3 2   →

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 2 x + 1 - 3 x + 1 x - 1 2 x - 1 3 ⋅ x - 1 3  

Prontinho! A parte de derivada está pronta! Agora é só uma simplificação das contas mesmo. Bora? :D

Passo 4

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 2 x + 1 - 3 x + 1 x - 1 2 x - 1 3 ⋅ x - 1 3     →

Tirando uma espécie de M M C para unir aquele denominador ali...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 3 2 x + 1 - 2 x + 1 3 x + 1 x - 1 2 2 x + 1 x - 1 3 ⋅ x - 1 3       →

E simplificando mais um pouco...

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 2 2 x + 1 x - 1 - 6 x + 1 x - 1 3 ⋅ x - 1 3       →

f ' x = x - 1 3 x + 1 ⋅ x - 1 2 - 5 x - 7 2 x + 1 ⋅ x - 1 3 ⋅ x - 1 3       →

Cortando esses termos semelhantes chegamos à...

f ' x = 1 x + 1 ⋅ x - 1 2 - 5 x - 7 2 ⋅ x - 1 3       →

f ' x = 1 x + 1 ⋅ - 5 x - 7 2 x - 1       →

f ' x = - 5 x + 7 2 x 2 - 1

Resposta

f ' x = - 5 x + 7 2 x 2 - 1

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