1. Determine a derivada das seguintes funções:
  1. g x = x 3 sin 2 ⁡ 5 x

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Aqui o enunciado foi direto ao ponto no que ele quer: derivarmos a nossa g x .

E para fazer isso, temos que nos que alertar de duas coisas: a primeira é que ela é um produto de funções (a parte x 3 multiplica a parte sin 2 ⁡ 5 x ); a segunda é que temos uma função “dentro” da outra (a função 5 x entra “dentro” da função seno e a função seno está “dentro” da função quadrática).

Deste modo para resolver essa questão vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Bora lá!

Passo 2

Essa é a nossa g x

g x = x 3 sin 2 ⁡ 5 x

Aplicando a regra do produto,

g ' x = x 3 ' sin 2 ⁡ 5 x + x 3 sin 2 ⁡ 5 x '

Para derivar a parte sin 2 ⁡ 5 x ' , vamos usar a regra da cadeia, então fica assim

g ' x = 3 x 2 sin 2 ⁡ 5 x + x 3 sin ⁡ 5 x ' 2 sin ⁡ 5 x

Para deriva a parte sin ⁡ 5 x ' , vamos aplicar a regra da cadeia de novo,

g ' x = 3 x 2 sin 2 ⁡ 5 x + x 3 [ 5 x ] ' cos ⁡ 5 x 2 sin ⁡ 5 x

g ' x = 3 x 2 sin 2 ⁡ 5 x + 10 x 3 cos ⁡ 5 x sin ⁡ ( 5 x )  

Aplicando a identidade trigonométrica

sin ⁡ 2 a = 2 sin ⁡ a cos ⁡ a

Ficamos com

g ' x = 3 x 2 sin 2 ⁡ 5 x + 5 x 3 sin ⁡ ( 10 x )  

Prontinho!

Resposta

g ' x = 3 x 2 sin 2 ⁡ 5 x + 5 x 3 sin ⁡ ( 10 x )  

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