18. Considere f uma função diferenciável e g definida por g x = f 2 cos ⁡ x . Sabendo que f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 2 , calcule g ' π 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma função f diferenciável e g dada por g x = f 2 cos ⁡ x . Foi dado que f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 2 e nosso objetivo é obter g ' π 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, temos que aplicar a regra da cadeia já que g é uma função composta de f .

A regra da cadeia é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora

Bora começar! 😉

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em g x = f 2 cos ⁡ x

g ' x = d f 2 cos ⁡ x d f cos ⁡ x

Fazendo f cos ⁡ x = u

g ' x = d u 2 d u · d f cos ⁡ x d cos ⁡ x

Novamente aplicando a regra da cadeia em f cos ⁡ x , temos

g ' x = d u 2 d u · d cos ⁡ x d x · d f cos ⁡ x d cos ⁡ x

g ' x = 2 u · - sin ⁡ x · f ' cos ⁡ x

g ' x = 2 f cos ⁡ x · - sin ⁡ x · f ' cos ⁡ x

Fazendo x = π 2

g ' π 2 = 2 f cos ⁡ π 2 · - sin ⁡ π 2 · f ' cos ⁡ π 2

g ' π 2 = 2 f 0 · - 1 · f ' 0

Foi dado no enunciado que f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 2

g ' π 2 = 2 1 · - 1 · - 1 2

g ' π 2 = 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

g ' π 2 = 1

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