Derive a função:

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! O problema deu essa função aqui:

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5

E pediu sua derivada!

Logo pensamos em regra da cadeia (pois temos a raiz como função mais de fora e a razão de polinômios mais interno) junto com uma regra do quociente!

Mas aqui vai um #alertatruquesujo

Antes de sair derivando, tenta simplificar a função! E é isso que vamos fazer: simplificar essa função para depois aplicar a regra mais adequada para derivação! Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é essa aqui:

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5

Mas vamos olhar com mais carinho o que está dentro na raiz:

2 r 2 - 2 r - 1

Será que não conseguimos colocar o 2 em evidência em cima? E simplificar? Saca só:

2 r 2 - 2 r - 1 = 2 ( r 2 - 1 ) ( r - 1 )

Mas como simplificar (sim, eu leio pensamentos e você está se perguntando isso)? Fatorando o numerador (usando a diferença de dois quadrados):

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Beleza? No nosso caso a = r e b = 1 :

2 ( r 2 - 1 ) ( r - 1 ) = 2 ( r - 1 ) ( r + 1 ) ( r - 1 ) = 2 ( r + 1 )

Tranquilo até aqui?

voltando para nossa função, temos:

G r = 2 r 2 - 2 r - 1 5 = 2 ( r + 1 ) 5

Viu só? Muito mais simples de ser derivada!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é pegar a função simplificada e derivar! Nossa função agora é:

G r = 2 ( r + 1 ) 5

E para derivar vamos usar a regra da cadeia (seguimos tendo a raiz como função mais externa), mas agora a derivada da função de dentro (que agora é ( 2 ( r + 1 ) ) ) é bem mais simples!

Derivando temos:

G r = 2 ( r + 1 ) 5

G ' r = 1 5 2 r + 1 - 4 5 . ( 2 )

G ' r = 2 5 2 r + 1 4 5

Ufa! Terminamos! E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

G ' r = 2 5 2 r + 1 4 5

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