Considere f uma função diferenciável e g definida por g x = f 2 ( cos ⁡ x ) . Sabendo que f 0 = 1 ,   f ' 0 = - 1 2 , calcule g ' π 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?

“Considere f uma função diferenciável”

Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função f !

“e g definida por g x = f 2 ( cos ⁡ x ) .”

Aqui começa: temos uma função g que é definida em termos dessa outra função f que ele falou! Notem que a f é uma função que está ao quadrado e é composta!

Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um x ali dentro de f , temos uma outra função! O cosseno! Tranquilo até aqui? Vamos seguindo?

“Sabendo que f 0 = 1 ,   f ' 0 = - 1 2 ,”

Aqui ele nos dá duas informações! Uma sobre a função f e outra sobre a derivada! E todas em um ponto muito específico, a r g u m e n t o = 0 ! E eu chamei de argumento mesmo, pois dentro da f temos uma função, um argumento, e não simplesmente x !

Na verdade, o ponto que temos da f e quando cos ⁡ x = 0 . Vamos adiante!

“calcule g ' π 2

g em um ponto x = π 2 . Mas o que será que esse ponto representa na f ? (lembra que a g está definida em termos da f , então saber onde os pontos são correspondentes é bem importante)

O ponto x = π 2 para a f é onde cos ⁡ π 2 = 0 ! Então calcular a derivada de g vai envolver a derivada de f , e aplicar essa derivada em π 2 na g é o mesmo que aplicar zero em f !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa coisa:

g x = f 2 ( cos ⁡ x )

Mas qual técnica usar? A regra da cadeia, já que a função f está ao quadrado (potência: função mais externa) e dentro dela tem outra função (o cosseno)

Beleza?

então #partiu derivar!

g x = f 2 ( cos ⁡ x )

g ' x = 2 . f cos ⁡ x . f ' cos ⁡ x . ( - s e n x )

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é aplicar no ponto dado! Queremos a derivada de g em x = π 2 , mas sabemos que g π 2 = f ( 0 ) , então:

g ' π 2 = 2 . f cos ⁡ π 2 . f ' cos ⁡ π 2 . - s e n π 2

Viu como naturalmente surgiu um f ( 0 ) ? Só colocando x = π 2 no cosseno!

f em zero:

f 0 = 1 ,   f ' 0 = - 1 2

Agora é só substituir!

g ' π 2 = 2 . f cos ⁡ π 2 . f ' cos ⁡ π 2 . - s e n π 2

g ' π 2 = 2 . f 0 . f ' 0 . - 1

g ' π 2 = 2 . 1 . - 1 2 . - 1 = + 1

E é isso! Então nosso resultado é:

g ' π 2 = + 1

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

g ' π 2 = + 1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função.G (y) = ((y - 1)^4)/((y^2 + 2 y)^5)
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x