Derive:

i )   y = l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) )

Para isso vamos utilizar a regra da cadeia e algumas derivadas conhecidas! Consegue se lembrar quais são? Saca só!

Passo 2

Primeiro temos que a regra da cadeia é utilizada quando temos uma função composta da forma h ( x ) = f ( g ( x ) ) , de forma que a derivada desta função composta é

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

utilizando que f ( g ) = l n ( g ) e g ( x ) = s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) , temos que

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ]

Ou seja, agora temos duas derivadas relativamente mais simples de resolver! Vamos começar com a derivada mais extensa! Vem comigo!

Passo 3

Temos a seguinte derivada para calcular

d d x [ s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ]

como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, podemos escrever que

d d x [ s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ] = d d x [ s e c ( 3 x ) ] + d d x [ t g ( 3 x ) ]

Ambas as derivadas são conhecidas! Se tiver interesse na demonstração você pode utilizar identidades trigonométricas juntamente com a regra do quociente, estas demonstrações são questões desta mesma lista de exercícios e está feito no site! Vamos utilizar o resultado conhecido direto! Tudo bem? Saca só!

Passo 4

Vamos lembrar a seguinte propriedade

d d x [ f ( c x ) ] = c d d ( c x ) f ( c x )

Ou seja, podemos simplesmente tirar constantes para fora da derivada, isso faz com que tenhamos que

d d x [ t g ( 3 x ) ] = 3 d d ( 3 x ) [ t g ( 3 x ) ]

da mesma forma, temos que

d d x [ s e c ( 3 x ) ] = 3 d d ( 3 x ) [ s e c ( 3 x ) ]

A derivada da tangente e da secante podem ser demonstradas utilizando de identidades trigonométricas e a regra do quociente, são questões desta mesma lista de exercícios e a demonstração delas está no site! Aqui vamos utilizar como um resultado conhecido! Vem comigo!

Passo 5

Agora, se usarmos que

d d ( 3 x ) [ t g ( 3 x ) ] = s e c 2 ( 3 x )

e, também que

d d ( 3 x ) [ s e c ( 3 x ) ] = t g ( 3 x ) s e c ( 3 x )

Podemos escrever que ambas as derivadas serão

d d x [ t g ( 3 x ) ] = 3 s e c 2 ( 3 x )

e

d d x [ s e c ( 3 x ) ] = 3 t g ( 3 x ) s e c ( 3 x )

Vamos agora calcular a última derivada que falta e escrever nosso resultado! Bora lá!

Passo 6

Relembrando que queremos calcular

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = d d g [ l n ( g ) ] d d x [ s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ]

Utilizando o que obtemos no passo anterior, temos que

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = d d g [ l n ( g ) ] [ 3   t g ( 3 x ) s e c ( 3 x ) + 3   s e c 2 ( 3 x ) ]

Agora, se lembrarmos que

d d g [ l n ( g ) ] = 1 g

Como temos que g ( x ) = s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) , podemos escrever nossa derivada final como

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = 1 s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) [ 3   t g ( 3 x ) s e c ( 3 x ) + 3 s e c 2 ( 3 x ) ]

Ou, se evidenciarmos alguns termos em comum, temos que

1 s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) [ 3   t g ( 3 x ) s e c ( 3 x ) + 3 s e c 2 ( 3 x ) ] = 3   s e c ( 3 x ) [ t g ( 3 x ) + s e c ( 3 x ) ] s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x )

Surpreendentemente podemos cortar o numerador e o denominador, e obtemos que

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = 3   s e c ( 3 x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

d d x [ l n ( s e c ( 3 x ) + t g ( 3 x ) ) ] = 3   s e c ( 3 x )

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