Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação:

( a ) g z = z 3 + 2 z + 1 4 z 3 + 2 z - 1 3

Passo 1

Para resolver esse cara vamos precisar da Regra do Quociente:

g ' x = z 3 + 2 z + 1 4 ' z 3 + 2 z - 1 3 - z 3 + 2 z + 1 4 z 3 + 2 z - 1 3 ' z 3 + 2 z - 1 3 2

Vamos calcular as duas derivadas do termo para não deixar tanta informação junta, o que certamente vai nos confundir. Vamos começar pelo que está elevado à quarta:

z 3 + 2 z + 1 4 ' = 4 z 3 + 2 z + 1 3 z 3 + 2 z + 1 '

Lembra o porque eu coloquei esse cara aqui:   z 3 + 2 z + 1 ' ? É por causa da regra da cadeia! Temos que derivar a expressão de dentro!

= 4 z 3 + 2 z + 1 3 ( 3 z 2 + 2 )

Agora o outro, que originalmente estava no denominador, o elevado ao cubo:

z 3 + 2 z - 1 3 ' = 3 z 3 + 2 z - 1 2 z 3 + 2 z - 1 '

= 3 z 3 + 2 z - 1 2 ( 3 z 2 + 2 )

Passo 2

Vamos voltar tudo para a expressão e tentar simplifica-la ao máximo:

g ' x = z 3 + 2 z + 1 4 ' z 3 + 2 z - 1 3 - z 3 + 2 z + 1 4 z 3 + 2 z - 1 3 ' z 3 + 2 z - 1 3 2

= 4 z 3 + 2 z + 1 3 ( 3 z 2 + 2 ) z 3 + 2 z - 1 3 - z 3 + 2 z + 1 4 3 z 3 + 2 z - 1 2 ( 3 z 2 + 2 ) z 3 + 2 z - 1 6

Olha, podemos simplificar dois z 3 + 2 z - 1 , o termo do denominador, com a parte de cima. Além disso, podemos botar boa parte dos termos em evidência:

= 4 ( 3 z 2 + 2 ) z 3 + 2 z - 1 z 3 + 2 z + 1 3 - 3 ( 3 z 2 + 2 ) z 3 + 2 z + 1 4 z 3 + 2 z - 1 4

= 3 z 2 + 2 z 3 + 2 z + 1 3 z 3 + 2 z - 1 4 4 z 3 + 2 z - 1 - 3 z 3 + 2 z + 1

= 3 z 2 + 2 z 3 + 2 z + 1 3 z 3 + 2 z - 1 4 z 3 + 2 z - 7

= 3 z 2 + 2 z 3 + 2 z - 7 z 3 + 2 z + 1 3 z 3 + 2 z - 1 4

Finalmente, chegamos ao resultado!

Resposta

g ' x = 3 z 2 + 2 z 3 + 2 z - 7 z 3 + 2 z + 1 3 z 3 + 2 z - 1 4

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