1 - Calcule a derivada das seguintes funções

d) e 2 x x 3 l n x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada de f x = e 2 x x 3 l n x .

Pra isso, temos que analisar a estrutura dessa função e assim podemos perceber que f x é composta pelo produto de outras funções

f x = g x · h x · r x

Então para nos auxiliar nesse cálculo, temos que recorrer para algumas técnicas de derivação!

Consegue ver quais são essas técnicas? 🤔

A primeira coisa que podemos imaginar é a regra do produto. Como nossa função é composta pelo produto de outras funções, então podemos aplicar esse método que consiste na aplicação de uma formulinha dada por

d g x · q x d x = g ' x · q x + g x · q ' x

Outro método que podemos usar é a regra da cadeia, pois certamente em algum momento vamos ter que derivar o termo e 2 x e sua derivada é obtida a partir da regra da cadeia.

Esse método é usado em funções compostas e é obtida pelo produto da derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

d h z x d x = z ' x · g ' z x

Substituindo z x por u em g ' z x , temos

d g z x d x = z ' x · g ' u

Bora ver como fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f x , vemos que ela é composta pelo produto de três funções.

Portanto, como a regra do produto funciona para apenas duas funções, vamos considerar x 3 l n x como uma função

f x = g x · h x ,     g x = e 2 x h x = x 3 l n x

Aplicando a regra do produto nessa função, temos

f ' x = d e 2 x d x · x 3 l n x + e 2 x · d x 3 l n x d x

Perceba que a derivada de x 3 l n x é a derivada do produto entre duas funções, então vamos aplicar a regra da cadeia para esse termo também.

f ' x = d e 2 x d x · x 3 l n x + e 2 x · d x 3 d x · ln ⁡ x + x 3 · d ln ⁡ x d x

Começando pela derivada de e 3 x , já falamos sobre ela no passo anterior. Essa é uma função composta, portanto vamos aplicar a regra da cadeia.

Se a função de dentro é 3 x e a função de fora é e z x , então

d g z x d x = z ' x · g ' u

d e 2 x d x = d 2 x d x · d e u d x

Substituindo em f ' x , temos

f ' x = d 2 x d x · d e u d x · x 3 l n x + e 2 x · d x 3 d x · ln ⁡ x + x 3 · d ln ⁡ x d x

Ficou grandinho, não é? Agora só resta calcular as derivadas dos termos!

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Derivando 2 x e x 3 pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pelo seu expoente e subtraindo 1 da sua potência, vamos obter

d 2 x d x = 2 x 1 - 1 = 2

d x 3 d x = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Já as derivadas de e u e de ln ⁡ x são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo. Apelamos para esse teorema quando não podemos calcular a derivada de uma função pelos métodos convencionais, como por exemplo para funções trigonométricas e logarítmicas.

d e u d x = e u

d ln ⁡ x d x = 1 x

Substituindo esses resultados em f ' x , temos

f ' x = d 2 x d x · d e u d x · x 3 l n x + e 2 x · d x 3 d x · ln ⁡ x + x 3 · d ln ⁡ x d x

f ' x = 2 · e u · x 3 l n x + e 2 x · 3 x 2 · ln ⁡ x + x 3 · 1 x

Simplificando...

f ' x = 2 e u x 3 l n x + e 2 x 3 x 2 ln ⁡ x + x 2

Não podemos deixar o resultado em função de u , então temos que voltá-lo para 3 x .

f ' x = 2 e 3 x x 3 l n x + e 2 x 3 x 2 ln ⁡ x + x 2

E então essa é a derivada da função dada no enunciado! Gostou?

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 2 e 3 x x 3 l n x + e 2 x 3 x 2 ln ⁡ x + x 2

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