Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Passo 1

a Para achar assíntotas horizontais, aplicamos o limite dessa f x para x → ± ∞ . Primeiro, + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 e - x = ∞ 0 → I n d e t e r m i n a ç ã o

lim x → + ∞ ⁡ x 2 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 e x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 2 x e x = → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 2 e x = 0

Agora, - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 e - x = ∞ ∞ = ∞

Ou seja, temos uma assíntota horizontal para x → + ∞ , y = 0 .

Para as assíntotas verticais, devemos aplicar o limite onde a função tem descontinuidades.

No caso, a função não tem nenhum ponto descontínuo, o que significa que não temos assíntotas verticais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Vamos analisar a derivada dessa função:

f ' x = x 2 e - x = x 2 ' e - x + x 2 e - x '

= 2 x e - x - x 2 e - x = e - x 2 x - x 2

A exponencial é sempre positiva, então a análise de sinal pode ser feita só com o termo quadrático:

2 x - x 2 = x 2 - x

Esse cara tem pontos críticos em x = 0 e em x = 2 , pontos que zeram a derivada. Sendo 2 x - x 2 uma parábola de concavidade negativa, vamos ter que ela é positiva entre suas raízes em 0 e 2 e negativa no resto do domínio.

Com isso, no ponto x = 0 a derivada vai de negativa para positiva, sendo um mínimo local. No ponto x = 2 a derivada vai de positiva para negativa, um máximo local.

Enfim, a função vai ser crescente de x = 0 até x = 2 , decrescente no resto do domínio e tem um mínimo local em x = 0 e máximo local em x = 2 .

Passo 3

c Vamos olhar a concavidade pela derivada segunda:

f ' ' x = e - x 2 x - x 2 ' = e - x ' 2 x - x 2 + e - x 2 x - x 2 '

= - e - x 2 x - x 2 + e - x 2 - 2 x

= e - x x 2 - 4 x + 2

Pontos de inflexão, vamos achar zerando esse polinômio:

x 2 - 4 x + 2 = 0   →       x = - - 4 ± - 4 2 - 4 1 2 2 1 = 2 ± 2

Como essa x 2 - 4 x + 2 é uma função quadrática com concavidade para cima, temos que seu sinal será negativo entre os dois pontos de inflexão, e positivo no resto do domínio.

Logo, f tem dois pontos de inflexão em 2 + 2 e em 2 - 2 , sendo côncava para baixo entre esses pontos e para cima no resto do domínio de f .

Passo 4

d Esboçando, nós teremos:

(esboço extraído do gabarito original)

Resposta

a     A s s .   h o r i z o n t a l : y = 0  

A s s .   v e r t i c a l :   -

b   f u n ç ã o   c r e s c e n t e   d e   x = 0   a t é   x = 2 ;   d e c r e s c e n t e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

M í n i m o   l o c a l   e m   x = 0 ; M á x i m o   l o c a l   e m   x = 2

c P o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 2 + 2   e   x = 2 - 2 ,  

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e n t r e   x = 2 + 2   e   x = 2 - 2 ;

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

d   f i g u r a   a c i m a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas