Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função:

f x = ln ⁡ x + 1 x

(i) Encontre o domínio de f .

(ii) Caso existam, determine as assíntotas horizontais e verticais de f .

(iii) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , seus pontos de máximo e mínimo locais e globais e os seus valores.

(iv) Determine os intervalos onde f tem concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

(v) Encontre os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos e esboce o gráfico de   f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Vamos ver aqui as restrições ao domínio de f . Como o ln não pode ter argumento negativo ou zero, precisamos que:

x > 0

Da mesma maneira, não podemos ter divisão por zero na fração, e: x ≠ 0

Que já está incluso na restrição anterior. Assim sendo:

D f = R + *

Ou seja, o conjunto dos números reais positivos. Você também poderia escrever: D f = x ∈ R   |   x > 0

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Passo 2

As assíntotas horizontais são testadas para x tendendo a mais e menos infinito. Não incluiremos o segundo, pois não faz parte do domínio. Assim sendo:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 x ⟹ ∞ + 0 ⟹ ∞

Ou seja, a função não tem assíntota horizontal.

As assíntotas verticais ocorrem nos pontos de indeterminação ou singularidade, o que ocorre em x = 0 . Testando para esse ponto:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 x ⟹ - ∞ + ∞

Vamos tentar juntar tudo num mesmo denominador para tentar sair dessa indeterminação: lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + 1 x = lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ x + 1 x = lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ lim x → 0 ⁡ x ln ⁡ x + 1 = lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x ⏟ L ' H + 1

Aplicando L’Hôpital:

lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 x - 1 x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ lim x → 0 ⁡ - x + 1 = lim x → 0 ⁡ 1 x ⋅ 1 = ∞ ⁡

Portanto, temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 3

A função cresce quando a derivada é positiva e decresce quando a derivada é negativa. Vamos derivar então para saber quando isso acontece: f ' x = ln ⁡ x + 1 x ' = 1 x - 1 x 2 = x - 1 x 2

O denominador está elevado ao quadrado e não influenciará no sinal da derivada, que será determinado pelo numerador, positivo para x > 1 e negativo para x < 1 .

Dessa maneira, a função é crescente para:

x > 1

E decrescente para:

x < 1

E tem pontos críticos em x = 0 , onde a derivada não existe, e em x = 1 , onde zera. A partir dos dados obtidos e do teste da primeira derivada, concluímos também que x = 1 é um ponto de mínimo, uma vez que a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita desse ponto.

f 1 = ln ⁡ 1 + 1 1 = 1

Como temos uma assíntota tendendo a mais infinito na fronteira esquerda do domínio da função, em x = 0 , e a função tende a mais infinito quando x → ∞ , todos os demais valores possíveis para f são maiores que este mínimo e, portanto, trata-se de um mínimo global.

Passo 4

A função é côncava para cima quando a segunda derivada é positiva e côncava para baixo quando negativa. Dessa maneira, vamos calcular a segunda derivada para saber.

f ' ' x = 1 x - 1 x 2 ' = - 1 x 2 + 2 x 3 = 2 - x x 3  

Vamos fazer um quadro de sinais para determinar o sinal da segunda derivada:

A partir do sinal de cada expressão:

Desconsiderando a parcela negativa, que não faz parte do domínio da função, concluímos que a função é côncava para cima para:

x < 2

E côncava para baixo para: x > 2

Passo 5

A função não intercepta os eixos, pois o domínio está à direita da origem e o mínimo global é positivo. Dessa maneira, a partir dos dados obtidos, chegamos ao gráfico:

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