Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Seja f x = x 3 x - 1 2 :

( a ) Calcule lim x → ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) , lim x → 1 + ⁡ f ( x ) e lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ;

( b ) Verifique que f ' x = x - 3 x 2 x - 1 3 e determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

( c ) Estude a concavidade de f ;

( d ) Pesquise a existência de assíntotas em e - ∞ ; esboce o gráfico de f .

Passo 1

( a ) Vamos calcular os limites pedidos, levando em conta que o domínio da função f corresponde a R - { 1 } :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ x 3 x - 1 2

= lim x → ∞ ⁡ x 2 x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2

= ∞ 1 - 0 2 = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x - 1 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 x x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 1 x 2

= - ∞ 1 - 0 2 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x 3 x - 1 2

= 1 1 - 1 2 = ∞

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 3 x - 1 2

= 1 1 - 1 2 = ∞

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Passo 2

( b ) Precisamos agora derivar a função, sendo o resultado esperado esse:

f ' x = x - 3 x 2 x - 1 3

Vamos derivar f x = x 3 x - 1 2 pela Regra do Quociente.

f ' x = x 3 ' x - 1 2 - x 3 x - 1 2 ' x - 1 4

= 3 x 2 x - 1 2 - x 3 2 x - 1 x - 1 4

= 3 x 2 x - 1 - 2 x 3 x - 1 3

= 3 x 3 - 3 x 2 - 2 x 3 x - 1 3

= x 3 - 3 x 2 x - 1 3

= x - 3 x 2 x - 1 3

Ora, achamos o resultado esperado.

Passo 3

Pensando agora no crescimento da função f , temos que levar em conta a análise de seu sinal. Sabendo que a derivada é composta por três termos e um deles, o x 2 , é sempre positivo, o sinal só depende dos dois outros termos. Vamos analisar o quadro de sinais para descobrir aonde a derivada de f é positiva ( f crescente) e onde é negativa ( f decrescente):

Como vemos, a função será crescente em ] - ∞ , 1   ∪   3 , + ∞ [ e decrescente em ] 1,3 [ , sendo x = 3 um ponto crítico de mínimo local, já que a derivada é negativa antes dele e positiva depois, sendo nula em x = 3 .

Passo 4

( c ) Para o estudo da concavidade derivamos pela segunda vez a função e analisamos seu sinal. Usamos, novamente, a Regra do Quociente:

f ' ' x = x 3 - 3 x 2 ' x - 1 3 - x 3 - 3 x 2 x - 1 3 ' x - 1 6

= 3 x 2 - 6 x x - 1 3 - x 3 - 3 x 2 3 x - 1 2 x - 1 6

= 3 x 2 - 6 x x - 1 - 3 x 3 - 3 x 2 x - 1 4

= 3 x 3 - 3 x 2 - 6 x 2 + 6 x - 3 x 3 + 9 x 2 x - 1 4

= 6 x x - 1 4

Ora, como x - 1 4 é uma potência par e será, portanto, sempre positiva, vemos que o sinal da derivada segunda depende apenas de 6 x , que é positivo para x > 0 e negativo para x < 0 .

Ou seja, a função é côncava para cima em x > 0 , para baixo em x < 0 e tem ponto de inflexão em x = 0 .

Passo 5

( d ) Procuramos agora as assíntotas. Já sabemos que, pela descontinuidade em x = 1 , temos uma assíntota vertical nesse ponto. Agora, como os limites quando x → ∞ e x → - ∞ explodem, respectivamente, para e - ∞ , notamos que não existem assíntotas horizontais. Nesse caso, vamos procurar a existência de assíntotas oblíquas na forma de uma reta modelada por y = m x + n . Por definição, calculamos m e n para o lado do + ∞ :

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x 2 x - 1 2

= lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 - 1 x 2

= 1

n = lim x → ∞ ⁡ f x - m x = lim x → ∞ ⁡ x 3 x - 1 2 - x

= lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 3 + 2 x 2 - x x - 1 2

= lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - x x - 1 2 = lim x → ∞ ⁡ x 2 2 - 1 x x 2 1 - 1 x 2

= lim x → ∞ ⁡ 2 - 1 x 1 - 1 x 2 = 2

Fazemos a mesma coisa para x → - ∞ , modelando a assíntota oblíqua por y = m * x + n * :

m * = lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 1 2

= lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 1 - 1 x 2

= 1

n * = lim x → - ∞ ⁡ f x - m * x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x - 1 2 - x

= lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x 3 + 2 x 2 - x x - 1 2

= lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 - x x - 1 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 - 1 x x 2 1 - 1 x 2

= lim x → - ∞ ⁡ 2 - 1 x 1 - 1 x 2 = 2

Enfim, concluímos que tanto para x → ∞ quanto para x → - ∞ a assíntota oblíqua para a qual o gráfico se aproxima é y = x + 2 !

Passo 6

Vamos reunir as informações da questão:

- Domínio de f : R - { 1 } .

- Limites importantes

lim x → ∞ ⁡ f x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = ∞

lim x → 1 - ⁡ f x = ∞

- Função é crescente em ] - ∞ , 1   ∪   3 , + ∞ [ e decrescente em ] 1,3 [ , sendo x = 3 um ponto crítico de mínimo local.

- A função é côncava para cima em x > 0 , para baixo em x < 0 e tem ponto de inflexão em x = 0 .

- Ass. verticais: x = 1 ; Ass. Horizontal: ; Ass. Oblíqua: y = x + 2 (para x → ± ∞ )

Vamos esboçar o gráfico com o que temos, dado que f 0 = 0 e f 3 = 27 4 :

Resposta

a         lim x → ∞ ⁡ f x = ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

lim x → 1 + ⁡ f x = ∞

lim x → 1 - ⁡ f x = ∞

( b )   F u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , 1 [   ∪   ] 3 , + ∞ [   e   d e c r e s c e n t e   e m   ] 1,3 [ ,   s e n d o   x = 3   u m   p o n t o   c r í t i c o   d e   m í n i m o   l o c a l .

( c )   A   f u n ç ã o   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   x > 0 ,   p a r a   b a i x o   e m   x < 0   e   t e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 0 .

d A s s .   v e r t i c a i s :   x = 1 ;   A s s .   H o r i z o n t a l :   ∄   ;   A s s .   O b l í q u a :   y = x + 2   ( p a r a   x → ± ∞ )

( E s b o ç o   n a   f i g u r a   a c i m a )

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