Seja g x = log 7 ⁡ x 2 - 1 2 :

( a ) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ;

( b ) Determine os pontos de máximos e mínimos locais de g ;

( c ) O gráfico da função g é.

Passo 1

( a ) Vamos derivar o g x pela Regra da Cadeia:

g ' x = 1 ln ⁡ 7 x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 2

= 1 ln ⁡ 7 2 2 x x 2 - 1 x 2 - 1 2

= 1 ln ⁡ 7 2 2 x x 2 - 1

= 4 ln ⁡ 7 x x + 1 x - 1

Agora para analisar o crescimento e decrescimento de g temos que observar o sinal da derivada, e isso nós podemos fazer através do quadro de sinais:

Concluímos com esse gráfico que a função é crescente apenas na região em que x pertence ao intervalo de ] - 1,0   ∪   1 , ∞ [ . f é decrescente em ] - ∞ , - 1   ∪   0,1 [ .

Passo 2

( b ) Quando procuramos pontos de máximo ou de mínimo estamos em busca de onde a derivada é nula. Observando a nossa derivada, que achamos no item a , vemos que isso só acontece quando x = 0 . Para determinar se o ponto é de máximo ou de mínimo devemos observar o sinal da derivada antes e depois do ponto crítico em x = 0 . Como temos no quadro dos sinais, a derivada é positiva antes e negativa depois, o que nos leva a pensar que x = 0 gera um ponto de máximo local na função.

Passo 3

( c ) Para determinar o esboço da curva precisamos de outras informações: assíntotas, paridade da função e concavidade.Começamos procurando assíntotas:

As verticais ficam onde temos descontinuidades no domínio, ou seja, temos assíntotas verticais em - 1 e em 1 :

lim x → - 1 - ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = lim x → - 1 + ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = - ∞

lim x → 1 - ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = lim x → 1 + ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = - ∞

Quanto às horizontais, vamos usar o limite da função quando x vai para ± ∞

lim x → - ∞ ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = log 7 ⁡ ∞

= ∞

lim x → + ∞ ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 = log 7 ⁡ ∞

= ∞

Constatamos que não existem assíntotas horizontais pois os limites explodiram para .

Passo 4

Procurando agora assíntotas oblíquas, vamos pela definição modelar retas para a assíntota oblíqua por y = m x + n . Começamos buscando para x → ∞ :

m = lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 x

O limite do jeito que está gera uma indeterminação ∞ ∞ , então vamos usar L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ log 7 ⁡ x 2 - 1 2 x → L ' H lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 7 x 2 - 1 2 ' x 2 - 1 2 x '

= lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 7 4 x x 2 - 1 x 2 - 1 2 1

= lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 7 4 x x 2 - 1

= lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ 7 4 1 - 1 x 2

= 4 ln ⁡ 7

Passo 5

Sobre a paridade da função, basta substituir alguns pares de valores como - 2 e 2 , - 3 e 3 , e assim por diante, para reparar que a função é par, ou seja, f x = f - x .

Analisando agora a concavidade da função buscamos analisar o sinal da derivada segunda. Vamos achar a derivada de f ' ( x ) usando a Regra do Quociente:

f ' ' x = 4 ln ⁡ 7 x ' x 2 - 1 - x x 2 - 1 ' x 2 - 1 2

= 4 ln ⁡ 7 x 2 - 1 - x 2 x x 2 - 1 2

= - 4 ln ⁡ 7 x 2 + 1 x 2 - 1 2

Analisando o sinal do termo acima perceberemos que o termo do denominador, x 2 - 1 2 , é sempre positivo, bem como o ( x 2 + 1 ) . Isso significa que f ' ' ( x ) será sempre negativo, já que esse termo que é sempre positivo está multiplicando o - 4 ln ⁡ 7 , que é negativo. Concluímos, a concavidade é sempre para baixo.

Passo 6

Vamos reunir as informações que já temos:

- Domínio: R - { - 1,1 } ;

- função é crescente em ] - 1,0   ∪   1 , ∞ [ . f é decrescente em ] - ∞ , - 1   ∪   0,1 [ ;

- Ponto de máximo em x = 0 ;

- Assíntotas verticais: x = - 1   e x = 1 ; Assíntotas horizontais: - ;

- Função par;

- Concavidade para baixo para todo x ;

Somado a isso temos que as interseções com os eixos, onde x = 0 e onde y = 0 , se dão respectivamente em ( 0,0 ) e em - 2 , 0 e 2 , 0 . Vamos ao esboço:

Resposta

( a )     f u n ç ã o   é   c r e s c e n t e   e m   ] - 1,0 [   ∪   ] 1 , ∞ [   e   d e c r e s c e n t e   e m   ] - ∞ , - 1 [   ∪   ] 0,1 [ ;

b   x = 0   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l ; n ã o   h á   p o n t o   d e   m í n i m o .

c   e s b o ç o   n a   f i g u r a   a c i m a

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