Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Considere a função f x = x 4 e - x .

  1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos críticos. Encontre os pontos de máximo e mínimo locais de f x .
  2. Determine os intervalos de concavidade voltada para cima e para baixo, indicando os pontos de inflexão, caso existam.
  3. Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  4. Esboce o gráfico da função, destacando os elementos encontrados nos itens anteriores.

Passo 1

(a)

Vamos começar derivando a f . Pela regra do produto:

f ' x = 4 x 3 e - x + x 4 . - e - x

⇒ f ' x = e - x 4 x 3 - x 4

Igualando a zero:

f ' x = e - x 4 x 3 - x 4 = 0

Como a exponencial é sempre positiva, temos que

4 x 3 - x 4 = 0

4 x 3 = x 4

⇒ x = 0     o u     x = 4

Então a função tem 2 pontos críticos, um em x = 0 e outro em x = 4 .

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Passo 2

Agora, pra descobrir onde a função cresce ou decresce, vamos estudar o sinal da derivada nos intervalos - ∞ ,   0 ,   0 ,   4 e 4 ,   + ∞ .

Começando pelo intervalo - ∞ ,   0 . Vejamos qual o sinal da derivada em x = - 1 , por exemplo:

f ' - 1 = e 1 - 4 - 1 = - 5 e < 0

No intervalo - ∞ ,   0 a derivada é negativa.

Agora vamos pegar um valor entre 0 e 4 , pode ser 1 :

f ' 1 = e - 1 4 - 1 = 3 e - 1 > 0

No intervalo 0 ,   4 a derivada é positiva.

Agora só sobrou o intervalo 4 ,   + ∞ . É meio intuitivo pensar que, pra x muito grande, vamos ter

4 x 3 - x 4 < 0 ⇒ f ' x < 0

Mas só pra garantir dá pra conferir, com x = 5 por exemplo:

4.5 3 - 5 4 = 4.125 - 625 = 500 - 625 = - 125 < 0

→   No intervalo 4 ,   + ∞ a derivada é negativa.

Portanto, pelo teste da primeira derivada, f decresce no intervalo - ∞ ,   0 ∪ 4 ,   + ∞ e cresce no intervalo 0 ,   4 .

Isso significa que x = 0 é ponto de mínimo local, e x = 4 é ponto de máximo local.

Passo 3

(b)

Pra estudar a concavidade, precisamos da segunda derivada. Lembrando que

f ' x = e - x 4 x 3 - x 4

Derivando de novo, com a regra do produto:

f ' ' x = - e - x 4 x 3 - x 4 + e - x 12 x 2 - 4 x 3

f ' ' x = e - x 12 x 2 - 4 x 3 - 4 x 3 + x 4

⇒ f ' ' x = e - x x 4 - 8 x 3 + 12 x 2

Passo 4

Beleza, agora vamos zerar essa derivada segunda pra achar os candidatos a pontos de inflexão:

f ' ' x = e - x x 4 - 8 x 3 + 12 x 2 = 0

x 4 - 8 x 3 + 12 x 2 = 0

x 2 x 2 - 8 x + 12 = 0

Então ou x = 0 , ou:

x 2 - 8 x + 12 = 0

Vamos resolver isso por Bhaskara:

x = 8 ± 8 2 - 4.1 . 12 2 = 4 ± 64 - 48 2

= 4 ± 16 2 = 4 ± 4 2 = 4 ± 2

⇒ x = 2     o u     x = 6

Portanto, temos 3 pontos: x = 0 ,   x = 2 e x = 6 .

Passo 5

Agora vejamos o sinal da derivada segunda nos intervalos - ∞ ,   0 ,   0 ,   2 e 2 ,   6 .

  • Em x = - 1 :
  • f ' ' - 1 = e 1 1 + 8 + 12 = 21 e > 0

    →   f ' ' x > 0 no intervalo - ∞ ,   0

  • Em x = 1 :
  • f ' ' 1 = e - 1 1 - 8 + 12 = 5 e - 1 > 0

    → f ' ' x > 0 no intervalo 0 ,   2 . Ou seja, f ' ' zerou em x = 0 , mas não chegou a mudar de sinal passando de - ∞ ,   0 pra 0 ,   2 . Isso significa que x = 0 não é ponto de inflexão, pois o sinal da derivada segunda não mudou!

  • Em x = 3 :
  • f ' ' 3 = e - 3 3 4 - 8.3 3 + 12.3 2 = e - 3 81 - 8.27 + 12.9

    = e - 3 81 - 216 + 108 = - 27 e - 3 < 0

    → f ' ' x < 0 no intervalo 2 ,   6 .

  • Pra x → + ∞ :

Com valores maiores do que 6 , começa a ficar complicado calcular x 4 , 4 x 3 ... Mas não precisamos disso, podemos simplesmente dizer que com x → + ∞ , temos

x 4 + 12 x 2 > 4 x 3 ⇒ x 4 - 4 x 3 + 12 x 2 > 0

→ f ' ' x > 0 no intervalo 6 ,   + ∞ .

Disso tudo, pelo teste da segunda derivada, concluímos que f tem concavidade para cima no intervalo - ∞ ,   2 ∪ 6 ,   + ∞ e concavidade para baixo no intervalo 2 ,   6 .

Os pontos de inflexão são x = 2 e x = 6 .

Passo 6

(c)

Agora vamos pras assíntotas.

Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função não é definida, mas como o domínio da f   é todo o R (não tem nenhum tipo de restrição: raiz quadrada, logaritmo ou divisão), ela não tem assíntotas verticais.

Já pra ver se ela tem assíntotas horizontais, basta calcular os limites no infinito:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 4 e - x = ∞ . ∞ = ∞

Esse limite explodiu pro infinito, então nada de assíntota desse lado. Vamos pro outro limite: lim x → + ∞ ⁡ x 4 e - x = ∞ . 0

Opa, aqui deu indeterminação. Então vamos fazer o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ x 4 e - x = lim x → + ∞ ⁡ x 4 e x = ∞ ∞

Aplicando l’Hôpital sucessivas vezes:

lim x → + ∞ ⁡ x 4 e x = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 3 e x = lim x → + ∞ ⁡ 12 x 2 e x

= lim x → + ∞ ⁡ 24 x e x = lim x → + ∞ ⁡ 24 e x = 0

Não tem jeito, a exponencial sempre ganha!

Enfim, isso significa que y = 0 , ou seja, o eixo x , é uma assíntota horizontal do gráfico da f .

Passo 7

(d)

Recapitulando tudo que vimos numa tabela:

Só ficou faltando na tabela a assíntota y = 0 quando x → + ∞ , e que lim x → - ∞ ⁡ f x = + ∞ .

Também temos que f 0 = 0 e

f 4 = 4 4 e - 4 ≈ 256 2,7 4 ≈ 256 3 4 = 256 81 ≈ 3

Essa aproximação de f 4 foi bem grosseira mesmo, mas é só pra ter uma noção. Assim sabemos que f 4 está ali nos arredores de 3 , e não é tipo 100 , sei lá.

Enfim, a partir disso tudo, tiramos esse lindo gráfico aqui:

Resposta

(a)

crescimento em 0 ,   4

decrescimento em - ∞ ,   0 ∪ 4 ,   + ∞

ponto de mínimo local: x = 0

ponto de máximo local: x = 4

(b)

concavidade para cima em - ∞ ,   2 ∪ 6 , + ∞

concavidade para baixo em 2 ,   6

pontos de inflexão: x = 2 e x = 6

(c)

assíntota horizontal: y = 0

(d)

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