Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Esboço de Curvas

Considere a função F dada por:

F x = 3 + ∫ 2 x t - 2 t 2 + 5 d t

Determine:

( a ) Os intervalos onde F é crescente, onde F é decrescente e os máximos e mínimos locais, caso existam;

( b ) Os intervalos onde o gráfico de F é côncavo para cima, onde é côncavo para baixo, e as abscissas dos pontos de inflexão, caso existam;

( c ) Os extremos absolutos, caso existam.

Passo 1

a Cara, quando a gente procura pelo regime de crescimento de determinada função é preciso analisar como se comporta o sinal da derivada dessa mesma função. Onde for positivo cresce, quando negativo, decresce. Dessa forma a gente vê que é necessário derivar F x . Mas se a gente olhar para a função vai ver que ela é dada por uma soma de uma constante com uma integral! Para derivar integrais assim, como é que fazemos? Chamamos o nosso Teorema Fundamental do Cálculo para ajudar!

F ' x = 3 ' + ∫ 2 x t - 2 t 2 + 5 d t '

F ' x = 0 + x - 2 x 2 + 5 x '

F ' x = x - 2 x 2 + 5

Bom, derivado o termo a gente pode observar o seu sinal. Dá para ver que a função tem um denominador que sempre é positivo, já que é composto por uma soma de x 2 , que nunca é negativo, com 5 , valor positivo. Dessa maneira, só o numerador influencia no sinal da derivada, de onde a gente tira que F ' x > 0 para x > 2 e F ' x < 0 se x < 2 . Além disso, a derivada é nula apenas quando x = 2 , que será uma mínimo local, já que a derivada é negativa antes desse ponto e positiva depois. Não temos pontos de máximo. Conclusão:

F   é   c r e s c e n t e   p a r a   x > 2   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 2 ;   M í n i m o   l o c a l   e m   x = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Concavidade? Derivada segunda! E partiu usar a Regra do Quociente:

F ' ' x = x - 2 ' x 2 + 5 - x - 2 x 2 + 5 ' x 2 + 5 2

= x 2 + 5 - x - 2 2 x x 2 + 5 2 = x 2 + 5 - 2 x 2 + 4 x x 2 + 5 2

= - x 2 + 4 x + 5 x 2 + 5 2 = - x 2 - 4 x - 5 x 2 + 5 2

Vamos abrir o polinômio do numerador por Bhaskara:

x = - - 4 ± - 4 2 - 4 1 - 5 2 1

= 4 ± 16 + 20 2 = 4 ± 36 2

= 4 ± 6 2 = 2 ± 3

x = 5   ;   x = - 1

F ' ' x = - x - 5 x + 1 x 2 + 5 2

O sinal só depende do numerador, já que o denominador está elevado a um expoente par. Vamos fazer o quadro de sinais então para a derivada segunda, de onde tiraremos a concavidade do gráfico:

Dá para concluir que a concavidade é para baixo quando x   ∈   ] - ∞ , - 1 [   ∪   ] 5 , + ∞ [ e para cima no intervalo ] - 1,5 [ . Temos pontos de inflexão em - 1 e 5 .

Passo 3

c Para saber se x = 2 , ponto de mínimo local que achamos na letra a é mínimo global (absoluto) basta pensar que se a derivada antes desse ponto é sempre negativa e depois é sempre positiva, como calculamos, não havendo descontinuidades no domínio, teremos que antes e depois desse valor só teremos valores acima de F 2 . A conclusão é que, pelas circunstâncias, x = 2 será sim um ponto de mínimo absoluto!

Não haverão pontos de máximo (local ou absoluto).

Resposta

a   F   é   c r e s c e n t e   p a r a   x > 2   e   d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 2 ;   M í n i m o   l o c a l   e m   x = 2 .

b   c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   q u a n d o   x ∈ ] - ∞ , - 1 [   ∪   ] 5 , + ∞ [   e   p a r a   c i m a   e m   ] - 1,5 [ .  

T e m o s   p o n t o s   d e   i n f l e x ã o   e m   - 1   e   5 .

c   x = 2   é   m í n i m o   a b s o l u t o .

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